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第5章 参数估计与假设检验练习题

1、设随机变量 X 的数学期望为 m ，方差为 s2 ，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为X的一个样本，试比较 与 的大小。

（ 前者大于后者 ）

2、设随机变量 X与Y相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = s2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 s2 的无偏估计 。

（ 16 / 7 ）

3、设正态总体 X ~ N ( m , s2 ) ，参数 m ，s2 均未知，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）（ n ³ 2 ）为简单随机样本，试确定 C，使得 为 s2 的无偏估计。

（ ）

4、假设总体 X 的数学期望为 m ，方差为 s 2 ， 为来自总体 X 的一个样本，、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 为 m 2 的无偏估计量.

（ 1 / n ）

5、设 X1 ，X2 是取自总体 N ( m , s2 ) （ m 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量 ， ， 中哪个最有效。

（ ）

6、设某总体 X 的密度函数为： ，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 q 的估计量 与 哪个更有效？

（ n > 1 时， 更有效 ）

7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出 ， 。求总体期望与方差的矩估计 和 。

（ 15 ；47 ）

8、设总体 X 具有密度 ，其中参数 0 < J < 1，C 为已知常数，且C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数 J 的矩估计量。

（ 1 - C /`X ，其中 ）

9、设总体 X 服从（ 0，J ）上的均匀分布，其中 J > 0 是未知参数，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为简单随机样本，求出 J 的矩估计量 ，并判断 是否为 J 的无偏估计量。

（ 2`X ，其中 ；是 ）

10、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为： ， 其中 J > 1 且未知。试求该总体未知参数 J 的极大似然估计量。

（ ）

11、设总体 X 的概率密度为 ，其中 q > 0 是未知参数，（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值和最大似然估计量。

（ ； ）

12、设样本 X1 ，X2 ，… ，Xn 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中 （ r 已知），J > 0，求参数 J 的极大似然估计。

（ ，其中 ； ，其中 ）

13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人数X服从参数为 l 的Poisson 分布，求：（1）l 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求 P ( X > 2 ) 。

（ （1） ； （2）0.4562 ）

14、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为： （ 参数 s 未知，且 s > 0 ），（1）试求未知参数 s 的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。
（1） ；（2）无偏估计量 ）

15、设总体 X 密度函数为：， （参数 J > 0 且未知）， 取样本
（X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求总体未知参数 J 的最大似然估计量和矩估计量。

（ ； ，其中 ）

16、设总体 X 具有密度函数 （ 其中 J 为未知参数，且
J > 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ），求 J 的矩估计量和极大似然估计量。

（ ， 其中 ； ）

17、设随机变量X ~ （ 未知参数 l > 0 ），且 EX = m 。取样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ），求总体期望 m 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。

（ ，其中 ，无偏； ，其中 ，
，有偏 ）

18、作 n 次独立重复试验，观察到事件A 发生了m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计和极大似然估计均为 m / n 。

19、方差 s 2 已知，置信度为 1 - a ，为使正态总体均值 m 的置信区间长度不大于 L ，样本容量至少为多少？

（ 不小于 的最小正整数 ）

20、设总体 X ~ N ( m , 102 ) （ m 未知），若要使 m 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的长度为4，求样本容量n 最小应为多少？

（ 97 ）

21、由总体 X ~ N ( m , s2 ) （ s2 未知）取得一个样本 X1 ，X2 ，… ，X9 ，计算出`x = 10， ，试求 m 的双侧置信区间（ a = 0.05 ）。

（ （ 8.847 , 11.153 ） ）

22、从一批钉子中随机抽取16枚，测得平均长度为 2.125 cm ，样本标准差为 0.01713 cm ，假设钉子的长度X服从方差为 0.012 的正态分布，求总体X 的均值 m 的置信度为90% 的置信区间（计算结果保留小数点后三位有效数字）。

（ （ 2.121 , 2.129 ） ）

23、从一大批电子元件中随机抽取100只，测得元件的平均寿命为 1000小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差 s = 40 小时，求 a = 0.05时，电子元件平均寿命的置信区间。

（ （ 992.16 , 1007.84 ） ）

24、设总体X容量为4的样本为 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( m , 1 )，（1）求总体X的数学期望；（2）求 m 的置信度为95%的置信区间。

（ （1） ； （2）（ - 0.98 , 0.98 ） ）

25、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为9的样本（单位：mm），测的直径的平均值`x = 31.05，s2 = 0.252 ，试求：总体 m 和 s2 的双侧置信区间（a = 0.05；
t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333，，，，）。

（ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ）

26、设总体 X ~ N ( m , s2 ) ，参数 m ，s2 均未知，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为简单随机样本，，，若假设 H0 ：m = 0，H1 ：m ¹ 0。试写出假设检验时使用的统计量的表达式。

（ ，其中 ， ）

27、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150，从该批产品中抽取容量为25的一组样本，并测得该项指标的平均值为1645（单位），问是否可以认为这批产品得该项指标值为1600（单位）？（ a = 0.05 ； t a / 2 ( 24 ) = 2.064 ，F 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t a ( 25 ) = 1.708 ）

（ U - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）

28、某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命 x ~ N ( m , s2 ) ，如果生产正常时，m = 2000（小时），现在抽检25个灯泡后得`x = 1832，s = 498，试问生产是否正常（ a = 0.05 ）？

（ t - 检验法，双侧，接受 H0 ，正常 ）

29、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定当标准重量为250克，标准差不超过3克时，机器工作正常。每天定时检查机器情况。现抽取16罐，测的平均重量为252克，样本标准差为4克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（ a = 0.05 ）？

（ 不正常 ）

30、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为81.5分，标准差为15分。试问：在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为85分？并写出检验过程。

（ t - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）

31、设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布，第一学期全年级数学考试平均分为80分，第二学期进行了教改，随机抽取25名学生的数学成绩，算得平均分为85分，标准差为10分。问：教改是否有效果（ a = 0.05 ）？

（ t - 检验法，右侧，否定H0 ，接受 H1 ，有效果 ）

32、某工厂生产一种金属线，抗拉强度的测量值 X ~ N ( m , s2 ) ，且知 m = 105.6 kg / mm2 ，现经过改进生产了一批新的金属线，从中随机地取10根作实验，测出抗拉强度值，并计算得均值`x = 106.3 kg / mm2 ，标准差 s = 0.8 kg / mm2 ，问这批新线的抗拉强度是否比原来金属线的抗拉强度高（ a = 0.05 ）？

（ t - 检验法，右侧，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）

33、某工厂采用一种新的方法处理废水。对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度X （~ N ( m , s2 ) ），测量10个水样，得到以下数据：`x = 17.10 ，s2 = 2.902 。而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19。问新方法是否比老方法好（ a = 0.05 ，计算结果保留小数点后一位有效数字即可）？

（ t - 检验法，左侧，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）

34、某厂生产的电子元件寿命服从方差为 s02 =10 000 ( 小时2 ) 的正态分布。现采用一种能提高元件效率的新工艺进行生产，并从生产线随机抽取26只元件测出其寿命的样本方差为
s2 = l2 000 ( 小时2 ) ，试根据显著性水平 a = 0.05 ，作如下显著性检验 H0 ：s2 = s02 ，
H1 ：s2 ¹ s02 。（附：，，，，，，）

（ c2 - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以认为新工艺生产的元件寿命的方差没有显著变化，或：可以认为在 a = 0.05 下，新工艺生产的元件寿命的波动没有显著变化。 ）