1、《特殊的平行四边形》培优训练
1、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=300且BC=，则△ECD面积为
1题图 2题图
2、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的处，折痕为PQ，当点在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点在BC边上可移动的最大距离为 。
3、已知边长为的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接
2、OC，则OC长的最大值应是 。
4、在菱形ABCD中，∠A=720，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（注：两种分法中只要有一条分割线的位置不同，就认为是两种不同的分法）。
5、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以GC为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
（1）求证：△BCG≌△DCE，BH⊥DE；
（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？
6、如图（1）所示，在平行四边形ABCD的形
3、外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB=∠EAD=900，连接AC、EF，在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明。
应用：以平行四边形ABCD的四边为边，在其形外分别作正方形，如图（2）所示，连接EF、GH、IJ、KL。若平行四边形ABCD的面积为5，则图中阴影部分的四个三角形的面积和为 。
图（1） 图（2）
7、以四边形ABCD的
4、边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH。
（1）如图（1）所示，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图（2）所示，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图（3）所示，当四边形ABCD为一般的平行四边形时，设∠ADC=，
①试用含的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由。
图（1） 图（2） 图（3）
5、
8、如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=，。
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC的中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）。猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论。
6、
9、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E。
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。
10、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分
7、线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。
（1）如图①，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周。即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止。在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值。
②若点P、Q的运动路程分别为（单位：），已知以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式。
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