双曲线和其标准方程.doc

双曲线及其标准方程
长治十三中 李晓宇
一、教学内容分析
圆锥曲线与方程——本章主要分成两部分，曲线与方程；圆锥曲线的方程极其简单的几何性质.
建立曲线的方程是解析几何的主要内容.要建立椭圆、双曲线、抛物线的方程,一方面要建立适当的坐标系,了解曲线上的点所满足的几何条件,写出这条曲线上的点的集合,然后把动点坐标代入,化简后得到方程;另一方面,还要注意检查以这个方程的解为坐标的点是否在曲线上,即是否满足这个几何条件.
通过方程研究曲线的几何性质是解析几何的主要内容.圆锥曲线的几何性质的研究是通过它们的方程展开的,这体现了解析几何通过代数方法研究几何图形的特点,也就是坐标法.这一思想应该贯彻于整个解析几何的始终.
《课标》要求——
1. 圆锥曲线
① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
2） 曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
二、学生学习情况分析
本课的内容是在学生学习了圆、椭圆的基础上进行的，对于学生来说，有一定的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，根据双曲线的几何特征,选择适当的坐标系,建立曲线的方程。
学法指点——
解析几何的基本思想是坐标法.在《数学》必修2中直线与方程，圆与方程的内容中，已经渗透了坐标法思想.我们对坐标法这一思想已经有了一定程度的认识.因此学习本章要注意知识内容的前后衔接,进一步明确坐标法的思想.在此基础上,根据圆锥曲线的几何特征,选择适当的坐标系,建立圆锥曲线的方程,通过研究方程得到圆锥曲线的几何性质.特别要注意代数方法与几何直观相结合,注重圆锥曲线的实际背景.
三、设计思想
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.
四、教学目标
1.知识与技能：掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.
2.过程与方法：教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3.情感、态度与价值：
1、通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
2、使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
五、教学重点和难点
重点: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用
难点: 双曲线标准方程的推导
六、教学过程设计
【创设问题 引领目标】
【问题呈现】
同椭圆一样，双曲线是平面截割圆锥面所得的曲线。当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线？你能举出现实生活中双曲线的应用例子吗？让我们一起进入双曲线的学习和研究工作中。

【自学思疑 初探问题】
【教材导读】
请你阅读教材中第52页内容，并思考以下问题。
(1)你能作出双曲线的图象吗？
(2)①|MF1|与|MF2|哪个大？差值是多少？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系
【问题一】 双曲线的定义是什么？在理解双曲线的定义时要注意什么？
请你阅读教材中第52页至第53页“探究”栏目之前的内容并回答下列问题：
1、双曲线定义中，若条件不具备，轨迹还存在吗？如何表示双曲线的一支？
1、简答：，直线；，两射线；，无轨迹．
2、提示：分两支来讨论．
2、双曲线的定义中为什么设定常数为2a、|F1F2|=2c？体现了什么数学思想和方法？它们之间的变化对双曲线有什么影响？观察52页2-3-1图，与同伴合作用一条拉链动手画一画。
（1） 使两点间距离为2个单位长度，F2, F两点间距离为1个单位长度；
再交换两点的位置画一画。
（2） 使两点间距离为2个单位长度，F2, F两点间距离为2个单位长度；
再交换两点的位置画一画。
3、在画图的过程中，你能说出移动的笔尖（动点动点M）满足的几何条件是什么？
4、请尝试给出双曲线的定义，与课本中的定义描述作比较，有何异同？能否改动？
与同伴交流。
【问题二】 如何求双曲线的标准方程？双曲线的标准方程是什么？
阅读教材第53页至第54页例1结束，思考并回答下列问题：
1、请观察双曲线，根据图形特征，你认为如何建立平面直角坐标系， 所得的方程形式会更简单呢？请根据你建立的平面直角坐标系求出相应的双曲线方程。
2、怎么解释方程化简过程中的等价性
3、请阅读教材并与同学交流，我们清楚双曲线的标准方程有两种形式，请你写出：
如果焦点在轴上，中心在坐标原点，双曲线的标准方程是什么？
如果焦点在轴上，中心在坐标原点，双曲线的标准方程又是什么？
你认为这里的“标准”指的是什么？
4、如何通过双曲线的标准方程确定焦点位置？类比椭圆：设参量的意义是什么？
【问题三】 你对双曲线的定义是怎么理解的，参数a,b,c的几何意义分别是什么？
1、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<|F1F2| ）的点的轨迹是什么？２、2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（2a＝|F1F2| ）的点的轨迹是什么？
3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a（2a＞|F1F2| ）的点的轨迹是什么？
4、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（2a<|F1F2| ）的点的轨迹是什么？
若常数2a＝0轨迹是什么？
5、参数之间的关系是什么？几何意义是什么？
【合作互助 共析问题】
【问题四】形成双曲线的定义过程中及标准方程推导过程中蕴含着什么数学思想？
1、在完成“探究”栏目的任务时，你是否想过若不改变拉链的长度，而是改变两个定点F1 F2之间的距离，分别画图，试试看会得到哪些不同种类的图形？每一类相应的图形分别是什么？
2、双曲线上的点有何共同的本质的属性？给定一条双曲线，你能用几种方式表示它，各有何优缺点？
3、提示：几何关系上分和来表示；方程表示时加上变量的取值范围．
【展示交流 探究问题】
【问题五】求双曲线的标准方程，何时需要分类讨论？双曲线的标准方程有何特点？
在求双曲线的标准方程时，要根据双曲线的焦点所在位置不同进行分类讨论，什么时候
讨论呢？结合课本例题，及双曲线标准方程的建立过程进行分析。与同伴一起交流下题：

【展例设计】
展例1
１已知两定点,,动点满足, 求动点的轨迹方程. ２已知两定点,,动点满足,求动点的轨迹方程
３已知两定点,,动点满足,求动点的轨迹方程.
4已知两定点,动点满足, 求动点的轨迹方程
指导要求：
结合本节课所学的知识，本题中的两个定点是双曲线的什么点？动点与定点之间的距离关系满足双曲线的定义的要求吗？如果符合定义，请你写出各基本量，然后求解。
请与同伴交流你对双曲线这一概念的理解，你掌握了研究双曲线概念的方法了吗？通过学习本课内容，类比研究椭圆的方法，你是否明白知识是载体，牚握数学思想方法才能使我们更好地解决生活中的问题。让我们一起努力，不断提高！
展例2
（1）方程|－|＝6 可化简为________
（2）方程－＝6 可化简为________
指导要求：
1、请注意化简变形过程中每个式子成立的条件，是否是同解变形？化简过程为什么要进行无理方程的两次移项、平方整理后方程的形式怎样更简洁美观？
2、本题有几种不同的解题方法？它的几何意义是什么？
3、本题与“展题1”的异同是什么？本质一致吗？能否归结为“展题1”去解决？
分别体现了哪些数学思想方法？
4、请注意比较（1）（2）两题的不同之处。如何在方程中体现其不同之处？
展例3
求适合下列条件的双曲线的标准方程
1．求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程
2．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
3．已知点，动点满足条件. 求动点的轨迹方程。
1答案：2答案：

指导要求：
1、请你类比椭圆的有关知识，思考求双曲线的标准方程有几种不同的方法？。
2、请写出你的解题过程、注意分析清解题思路、表达要清晰、条理，每一步的根据要明确。与同伴交流，看看谁的解题方法更简捷。相信你一定会做的越来越好！
3、试一试，采用不同的解法确定基本量a、b、c 的值。本题的易错点有哪些？
【归纳总结】
请你根据自己对本部分的内容的学习和体会，通过“知识结构树”、“思维导图”、“表格比较”或“学习报告”等方式，将你和你的小组的成果及时记录下来，以便和别的小组进一步交流研讨。在总结过程中，请你从知识及其联系、经验、方法等方面予以梳理。
指导要求：在画“思维导图”时可以从下面的角度分析：
1.为什么要研究双曲线？
2.双曲线定义的形成及标准方程的建立中蕴含了哪些数学思想方法？
我们应注意什么?
3.用轨迹法法求双曲线的标准方程的步骤是什么？
4.双曲线中基本量的实际意义、几何意义及其关系分别是什么？
【课堂自主测评】
1.已知：平面上两定点为F1（－4，0）、F２（4，0），满足下列条件的平面内动点M的轨迹为双曲线的是（ ）
（A）| MF1 |－| MF2 | ＝6 B）| MF1 |－| MF2 | ＝－6
（C）| MF1 |－| MF2 | ＝±6 （D）| MF1 |－| MF2 | ＝8
（E）| MF1 |－| MF2 | ＝－8 （F）| MF1 |－| MF2 | ＝±8
（G）| MF1 |－| MF2 | ＝10 （H）| MF1 |+| MF2 | ＝10
（K）| MF1 |－| MF2 | ＝0
2．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
3.点M是双曲线-＝１左支上一点，F1、 F2 分别是左、右焦点，
则|| MF1 |－| MF2 || ＝________；| MF1 |－| MF2 |=________。
4.若双曲线的方程为－＝１，则焦点坐标是________。
5．已知方程表示双曲线，则的取值范围
6.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）已知：双曲线的焦点坐标为F1（0，－3），F2 （0，3），且过点（，4）；
（2）已知：a=1，两焦点之间的距离为2；
【课后作业分层演练】
课后分级训练（45分钟）
A. 基础巩固
1．双曲线的焦距为 （ 　 ）
A. 3 B. 4 C. D. 4
2．已知A（-5，0），B（5，0） ||PA|—|PB||=2a
当a=3和a=5时，点P的轨迹是 ( )
A. 双曲线和一条直线 　B.双曲线和两条射线
C．双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
3．（1）双曲线方程是-＝１，则它的两焦点坐标是F1（ ）, F2（ ）。
（2）已知双曲线-＝1的一个焦点为（，0）则=________。
4. 已知双曲线的一个焦点坐标为F1（-13，0）双曲线上一点P到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程是________
B.能力测控
5、已知双曲线的两个焦点的坐标分别为F1（-2，0）, F2（2，0）并且双曲上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2,则双曲线的方程为 （ ）
A. -＝1 B. -＝1 C. -＝1 D. -＝1
6.方程+＝１表示曲线C
甲：若曲线C为椭圆，则1＜t＜4
乙：若曲线C为双曲线，则t＜1或 t＞4
丙：曲线C不可能为圆
丁：若曲线C为椭圆，且长轴在X轴上，则1＜t＜
以上正确命题的个数是
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
7．(1)设,方程表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范是________,若表示焦点在y轴上的双曲线,则的取值范是________,
(2)如果椭圆＋＝１与双曲线－＝１的焦点相同，那么
8．讨论当K取何值时，方程所表示的曲线是双曲线？是椭圆？
C．拓展提升
9、已知：双曲线与椭圆+＝１有相同的焦点，且与椭圆相交在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程。
10、已知：动圆过点A(3，0)且与定圆相外切
求:动圆圆心P的轨迹方程
七、教学反思
八、板书设计