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1、2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计 课题 2.2.3向量的数乘运算及几何意义 课时 1 授课时间 45分钟 授课对象 高一年级 课型 新授课 授课人 孔明明 三维教学目标 1、知识与能力 通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律. 2、过程与方法 通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行. 3、情感态度与价值观 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到
2、一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用. 教 学 重、难点 教学重点： 1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。 教学方法 以启发式教学为主，设置层层问题，采用多种探究方法相结合的方式. 1.师生共同探究法 2.学生独立自主探究法 3.学生分组合作探究法 培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神
3、 学情分析 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。 教学用具 三角板、投影仪、多媒体辅助教学 教学基本流程 复习回顾，情景引入引入 作图探究向量数乘运算的概念
4、 得出向量数乘运算的定义及其几何意义 口答题、练习题 作图探究向量数乘运算律 例1及巩固练习 练习 学生合作探究共线向量定理 例3、例4讲解 归纳总结 变式一、变式二讲解 例2讲解 课堂检测 课堂小结 作业布置 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 复习回顾：向量的加法、向量的减法 教师提问 学生回答 复习回顾，引发新知 情景引入
5、问题：已知甲向东走了1千米，乙向东走了3千米，丙向西走了3千米，丁站在原地没有动，如果把甲的位移用来表示，那么怎么用向量来表示乙、丙、丁的位移？ 教师提问 学生思考并容易回答出，-，0 用学生熟悉的物理知识引入今天的新课，是学生有一种似曾相识的感觉。激发学生的求知欲和增强学生的自信心。 探究 1：向量的数乘运算定义极其几何意义 作图：已知非零向量，作出++和（）+（）+（） 想一想：它们的大小和方向有什么变化？ 学生作图，观察并思考 认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对
6、向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。 得出新知 实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）； （2）当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当 时，． 问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？ 学生思考并单作答 通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生思考交流并作答 从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量沿的方向或反方向伸长或缩短倍。 说
7、一说： 教师启发学生思考 抽学生回答，并指出其几何意义 通过简单口答题来巩固学生对向量数乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方式。 练一练： 教材P90 练习2、3题 学生单独作答 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固 探究2：运算律 作图：(1) 根据定义，求作向量和(为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量、，求作向量和，并进行比较。 教师启发学生思考 学生作图并总结规律 通过具体的计算初步感知向量数乘的运算律，体会从特殊到一般的归纳的数学思想 实数与向量的积的运算律： （1）（结合律）； （2）（第一分配律）； （
8、3）（第二分配律）． 问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算。类比数的乘法的运算律，你能说出数乘的运算律吗？ 小组交流探讨 数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。 问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？ 小组交流探讨 例1 计算： （1）； （2）； （3） ． 提问、及时评价 独立完成，单独回答 从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，
9、通过例1加深学生对数乘向量运算律的理解。 练一练 教材P90 练习5题 学生单独作答 及时练习，及时巩固，反馈学生的学习情况 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量，以及任意实数，恒有 本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。 对于向量、，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义知与共线，且向量是向量模的倍，而的正负由向量、的方向所决定. 反过来，已知向量与共线，，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有. 从上述两方面可知 （板书）共线向量定理：向量、共线，当且仅当有一个实
10、数，使得. 问题6：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？ 思考: 1) 为什么要是非零向量? 2) 可以是零向量吗? 3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 合作交流，独立作答. 师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共线，当且仅当有一个实数，使得；且实数的唯一性是由向量和的模和方向同时决定. 通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 练一练 教材P90练习题4题 学生单独作答 从心理学认为
11、概念一旦形成，必须及时巩固 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用二：判断三点共线 引导学生思考 学生思考作答 共线向量定理的应用三：判断直线平行 例3.如图，已知任意两个向量试作出你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ 让学生完成作图 学生上黑板上作图 这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行. 例4.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用表
12、示吗？ 引导学生思考 学生思考作答 综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算. 使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 课堂小结 一、① 的定义及运算律； ② 向量共线定理， 向量与共线. 二、 定理的应用： （1） 证明向量共线； (2) 证明三点共线；A、B、C三点共线； （3） 证明两直线平行： 直线AB∥直线CD. 三、你体会到了那些数学思想. 引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化. 1.知识性
13、内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 课后作业 教材P91，A组9—13题 （选做）B组3、4、5 课后思考： 分层布置作业，让每个学生都得到发展。 课后的思考题让学生通过思考发现三点共线的另一种形式。培养学生的综合能力。 板书设计 2.2.3向量数乘的运算及其几何意义 1. 向量数乘的定义；
14、 例2、变式一、变式二 2.数乘向量的运算律； 例3. 3.共线向量定理； 例4 例题讲解 课堂小结 例1． 教学反思 1．向量数乘运算及其几何意义是继向量的加法、减法之后的基本运算，为了正确的认识向量数乘运算及其几何意义，首先复习了向量的加法、减法，然后通过学生比较熟悉的位移例子，引入主题。从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。 2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结
15、合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。 3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。 4.本节课总共设置三个探究题，目的是通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程。本节课的教学理念是：体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，我想让学生在知识上：掌握向量数乘的定义、运算律及其几何意义，理解两个向量共线的含义并能解决：向量共线、三点共线、直线平行等问题。在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的操作，使学生巩固知识点的掌握；通过当堂检测，判断学生的收获；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。希望通过本节课，能更好的培养学生的创新能力。 邹城市第一中学优质课评比参评教案 新课程标准高中数学人教A版高中数学必修4 授课人：孔明明 2013年3月20日
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