增城市派潭中学高三二轮复习专题三角恒等变换图象与性质教案.docx

第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质 教学重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用 教学难点：三角恒等变换及数形结合的应用 近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用 16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用 2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用 一、知识复习： 1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。 2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则： 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”； sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________; sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_________; sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________; sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________; sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________; sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______, sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______, 5．同角三角函数的基本关系： ， ； 6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① =
② = ③ = 。
④ 7．二倍角公式：① ； = ② ， ， ； ③ ， = 。 8．常用降幂公式： =__________， =__________， =__________， =___________. =________ , =____ , 9.常用合一变形: =__________________________. =__________________ , =__________________ , =__________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ . 10．三角函数的图像和性质
图像 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 对称轴 对称中心 递增区间 递减区间 最大值 最小值 注意：⑴ 对称轴： ；对称中心： ； ⑵ 对称轴： ；对称中心： ； 二、体验高考 1.（2011山东理6）若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω= A．3 B．2 C． D． 2.（2011全国新课标理11）设函数 的最小正周期为 ，且 则 （A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减 （C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增 3.（2011辽宁理16）已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分图像如右图，则 4.（2011湖北理3）已知函数 ，若 ，则x的取值范围为 A. B． C． D．
5.（2011江苏9）函数 是常数， 的部分图象如图所示，则f(0)=
6.（2011广东理16）已知函数 (1)求 的值； (2)设 求 的值.
三、例题讲解 考向一：三角恒等变换及其求值 例1、已知 ，则
例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。
(2）． 已知 ， 求 的值.
考向二：函数 的解析式及图象变换 例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数 ，其中 ， 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形， ，KL＝1，则 A. B. C. D.
（2）. （2011年揭阳一模）已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点 A. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; B. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; C. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍; D. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍. 例4：（2011年山东潍坊一模）函数 （其中 ）的部分图象如图所示。 （1） 求 的解析式； （2） 设 ，求函数 在 上的最大值，并确定此时x的值。
考向三：三角函数的奇偶性与对称性 例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3　sinx1　 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________． （2）（2011年安徽合肥质检）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为 A2 B.4 C.6 D.8 考向四：三角函数的周期性与单调性 例6：已知函数 在 时取得最大值，（1） 在 上的单调增区间为 A. B. C. D.
（2） 若A＝2，请画出 在 上的图象。
例7：已知 ， ， 。 设函数 （1） 函数 的最小正周期 （2） 函数 的单调区间； （3） 函数 的最大值及对应 的取值的集合，最小值及对应 的取值的集合 （4） 当 时， 恒成立，求实数m的取值范围
四、巩固练习
1、已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 . (Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的值域.
2、已知函数 （其中 ， ）的最大值为2，直线 、 是 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ． ⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．
3、（2011广东省三校联考） 已知函数 （1）求 的值域； （2）若 （x>0）的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ，求数列 的前2n项的和。
4．已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称，当 时，函数 ，其图象如图.
（1）求函数 在 的表达式； （2）求方程 的解.
第7讲三角恒等变换、三角函数的图象与性质 教学重点：掌握三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用 教学难点：三角恒等变换及数形结合的应用 近两年高考考点：2010年：11题正余弦定理的应用 16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用 2011年：16题三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用
一、知识复习： 1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。 2．三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则： 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”； sin(2kπ+α)=________ , cos(2kπ+α)=________, tan(2kπ+α)=_________; sin(-α)=_________ , cos(-α)=_________, tan(-α)=_____ sin(π-α)=_________ , cos(π-α)=_________, tan(π-α)=_________; sin(π+α)=________ , cos(π+α)=________, tan(π+α)=__________; sin(2π-α)=_________ , cos(2π-α)=_________, tan(2π-α)=__________; sin( -α)=_____ , cos( -α)=______, sin( +α)=_____ , cos( +α)=______, sin( -α)=_____ , cos( -α)=______,sin( +α)=_____ ,cos( +α)=______, 5．同角三角函数的基本关系： ， ； 6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① =
② = ③ = 。
④ 7．二倍角公式：① ； = ② ， ， ； ③ ， = 。 8．常用降幂公式： =__________， =__________， =__________， =___________. =________ , =_________ , 9.常用合一变形: =__________________________. =__________________ , =__________________ , =________________ , =__________________ , =________________ , =_____________ . 10．三角函数的图像和性质
图像 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 对称轴 对称中心 递增区间 递减区间 最大值 最小值 注意：⑴ 对称轴： ；对称中心： ； ⑵ 对称轴： ；对称中心： ；
二、体验高考 1.（2011山东理6）若函数 (ω>0)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则ω= A．3 B．2 C． D． 【答案】C 2.（2011全国新课标理11）设函数 的最小正周期为 ，且 则 （A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减 （C） 在 单调递增 D） 在 单调递增 【答案】A
3.（2011辽宁理16）已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分图像如下图，则 ．
【答案】 4.（2011湖北理3）已知函数 ，若 ，则x的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 5.（江苏9）函数 是常数， 的部分图象如图所示，则f(0)= 【答案】 6.（2011广东理16）已知函数 (3)求 的值； (4)设 求 的值. 解：（1） 故 三、例题讲解 考向一：三角恒等变换及其求值 例1、（2011年安徽八校联考）已知 ，则
例2、（1）．已知 . (I)求 的值； (II)求 的值。
（2）． 已知 ， 求 的值.

考向二：函数 的解析式及图象变换 例3：（1）（2011年浙江宁波模拟）设偶函数 ，其中 ， 的部分图象如图所示。 为等腰直角三角形， ，KL＝1，则 A. B. C. D.
（2）. （2011年揭阳一模）已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，则为得到函数 的图象可以把函数 的图象上所有的点 A. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; B. 向右平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍; C. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍; D. 向左平移 ，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍. 6. 依题意知 ，故 ，故选A. 例4：（2011年山东潍坊一模）函数 （其中 ）的部分图象如图所示。 （3） 求 的解析式； （4） 设 ，求函数 在 上的最大值，并确定此时x的值。
考向三：三角函数的奇偶性与对称性 例5：（1）（2011年湖南长沙模拟）定义行列式运算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝3　sinx1　 cosx的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________． 解析：f(x)＝3　sinx1　 cosx＝3cosx－sinx＝2cos(x＋π6)， 图象向左平移n(n>0)个单位， 得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋π6)，则当n取得最小值56π时，函数为偶函数． 答案：56π （2）（2011年安徽合肥质检）已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8
考向四：三角函数的周期性与单调性 例6：已知函数 在 时取得最大值，则 在 上的单调增区间为 A. B. C. D. 例7：（2011年广东六校联考）已知 ， ， 。 （5） 函数 的最大值和最小正周期； （6） 函数 的单调递增区间。
四、巩固练习
1 、设函数 （1） 若 ，求 ①函数 的单调区间； ②求最大值及对应 的取值的集合，求最小值及对应 的取值的集合 ③ 画出函数在此范围内的图像 （2） 当 时， 恒成立，求实数m的取值范围

2、已知函数 （其中 ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 . (Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的值域.

3、已知函数 （其中 ， ）的最大值为2，直线 、 是 图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ． ⑴求 ， 的值；⑵若 ，求 的值．
4、（2011广东省三校联考） 已知函数 （1）求 的值域； （2）若 （x>0）的图象与直线 交点的横坐标由小到大依次是 ，求数列 的前2n项的和。

5．已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称，当 时，函数 ，其图象如图.
（1）求函数 在 的表达式； （2）求方程 的解.

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