因式分解例题精讲与同步练习.docx

《因式分解》例题精讲与同步练习 本周的内容：因式分解 一、 本节的重点是因式分解，包括因式分解的意义和把多项式的三种基本方法；难点是因式分解的方法的灵活运用 1. 提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各字母的指数取次数最低的。 2. 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征。 3. 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。 4. 分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。 5. 分解因式时要灵活运用各种方法，并且要把每一个多项式因式分解到不能再分解为止。
二、 表解知识要点： 运算 公式或法则 注意事项 提公因式 要把多项式中的公因式全部提取出来，俗称：提尽公因式 用公式 a2－b2=（a+b）（a－b） a2±2ab－b2=（a±b）2 注意完全平方公式中间的符号 分组分解 分组的目的是要能提公因式或运用公式
三、 例题分析 例1 下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） A、（x+3）(x－2)=x2+x－6 B、ax－ay－1=a（x－y）－1 C、8a2b3=2a2•4b3 D、x2－4=（x+2）（x－2） 分析：本题考查因式分解的意义，考查学生对概念的辨析能力。要将各个选择项对照因式分解的定义进行审查。A是整式乘法，显然不是因式分解；B的右端不是积的形式，也不是因式分解；C的左端是一个单项式，显然不是因式分解；D是将一个多项式化成两个整式的积，符合因式分解的定义。所以选D。 例2 把3ay－3by+3y分解因式 解：原式=3y（a－b+1） 例3 把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式 解：原式= －（4a3b2－6a2b+2ab） = －（2ab•2a2b－2ab•3a+2ab•1） 这一步要记得变号 = －2ab（2a2b－3a+1） 这一步不要漏提最后的1 例4 把－2p2（p2+q2）+6pq（p2+q2）分解因式 解：原式=－2p（p2+q2）（p－3q） 这里很容易漏掉p 例5 把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式 解：原式=5（x－y）2+10（x－y）3 公式（x－y）n= －（y－x）n（n为奇数） （x－y）n= （y－x）n（n为偶数） =5（x－y）2[1+2（x－y）] 因式分解要彻底，最后的答案要化简 =5（x－y）2（1+2x－2y） 例6 把下列各式分解因式： （1）4x2－9； （2）x－xy2 （3）x4－1 （4）－ n2+2m2 解：（1）原式=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3） （2）原式=x（1－y2） 要先提公因式 =x（1+y）（1－y） 然后再用公式
（3）原式=（x2+1）（x2－1） 分解一定要彻底 =（x2+1）（x1）（x－1） 所以……
（4）原式= － （n2－4m2） 提出－ 后出现符合平方差公式的式子 = － （n+2m）（n－2m） 例7 把下列各式因式分解： （1）－x2+4x－4 （2）（a+b）2+2（a+b）+1 （3）（x2+y2）2－4x2y2 解：（1）原式= －（x2－4x+4）=－（x－2）2 （2）原式= （a+b+1）2 （3）原式= （x2+y2+2xy）（x2+y2－2xy） 先用平方差公式 = （x+y）2（x－y）2 再用完全平方公式 例8 分解因式：7x2－3y+xy－21x 解法1：7x2－3y+xy－21x 解法2：7x2－3y+xy－21x =（7x2xy）+（－3y－21x） =（7x2－21x）+（xy－3y） = x（7x+y）－3（7x+y） =7x（x－3）+y（x－3） = （7x+y）（x－3） =（x－3）（7x+y） 总结：分组的方法不是唯一的，但也并不是任意的，分组时要目标明确，首先应当使分组后每组都可以分解因式，其次每组分解因式后各组合在一起又可以分解因式。 例9 把下列各式分解因式： （1）1－x2+4xy－4y2 （2）x2－4xy+4y2－3x+6y 解：（1）原式=1－（x2+4xy－4y2） =1－（x－2y）2 =（1+x－2y）（1－x+2y） （2）原式=（x2－4xy+4y2）+（－3x+6y） 分成两组后一组用完全平方公式 =（x－2y）2－3（x－2y） 另一组可提公因式 =（x－2y）（x－2y－3） 例10 （思维训练）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1 解：原式=（x2－2xy+y2）+（－2x+2y）+1 分成三组 =（x－y）2－2（x－y）+1 形成完全平方式的形式 =（x－y－1）2
四、 练习题 1、下列从左到右的变形：（1）15x2y=3x•5xy；（2）（a+b）（a－b）=a2－b2；（3）a2－2a+1=（a－1）2；（4）x2+3x+1=x（x+3+ ）其中是因式分解的个数是（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2、把下列各式分解因式： （1） 4x3y-6x2y2+2x2y （2） （x+y）a+（y+z）a+（z+x）a （3） 3（x－y）3－6（y－x）2 （4） － a4+ b2 （5） 36（x+y）2－64（x－y）2 （6） （a+b）2－6（a+b）+9 （7） 2ax+6by+3ay+4bx （8） a3－2a2－4a+8 （9） 4a2+12ab+9b2－25 （10） （x－2y）x3－（y－2x）y3 （思维训练题，有点难度的，你不想试试吗？） 五、 练习题解答 1、 B 2、 （1）原式=2x2y（2x－3y+1） 公因式要全部提出来，别漏掉啊！ （2）原式=a[（x+y）+（y+z）+（z+x）] = a（2x+2y+2z） =2a（x+y+z） （3）原式=3（x－y）3－6（x－y）2 =3（x－y）2（x－y－2） （4）原式= b2－ a4 =（ b+ a）（ b－ a） （5）原式=[6（x+y）]2－[8（x－y）]2 =[6（x+y）+8（x－y）][6（x+y）－8（x－y）] =（14x－2y）（14y－2x） =4（7x－y）（7y－x） 因式分解一定要彻底哦！ （6）原式=（a+b－3）2 （7）原式=（2ax+4bx）+（3ay+6by） =2x（a+2b）+3y（a+2b） =（a+2b）（2x+3y） （8）原式=（a3－2a2）－（4a－8） = a2（a－2）－4（a－2） =（a－2）（a2－4） =（a－2）（a－2）（a+2） =（a－2）2（a+2） 别忘了最后一步的整理！
（9）原式=（4a2+12ab+9b2）－25 =（2a+3b）2－52 =（2a+3b+5）（2a+3b－5） （10）原式=x4－2x3y－y4+2xy3 首先用多项式乘法将之展开 =（x4－y4）+（－2x3y+2xy3） 然后进行分组 =（x2+y2）（x2－y2）－2xy（x2－y2） 分组后，各个组分别分解因式 =（x2－y2）（x2+y2－2xy） 再提出各组公共的因式（x2－y2） =（x+y）（x－y）（x－y）2 将各因式彻底分解 =（x+y）（x－y）3 最后进行整理……搞定！

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