必修二点直线平面的位置关系知识总结.doc

空间点、直线、平面的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.
③ 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作.
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al.
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα.
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平
判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论：一直线和直线外一点确定一平面.
两相交直线确定一平面.
两平行直线确定一平面.
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据
②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a.
符号语言：
公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法.
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.
（教科书习题2.1 B组3题）
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.
（教科书习题2.1 B组2题）
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质：既不平行，又不相交.
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.
说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义（反证法）
②异面直线的判定定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关.
(3)求异面直线所成角步骤：
A、 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.
B、 证明作出的角即为所求角.
C、 利用三角形来求角.
7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点.α∥β
相交——有一条公共直线.α∩β＝b
5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
以下书上没有：
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1） 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）
以下书上没有：
（2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直.
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
9、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为.
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为.
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角.
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平
面角.

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

3. 平行与垂直关系的转化：

一、选择题：
1. 已知为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知棱长为a，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3. 设P是异面直线a、b外的一点，则过P点且与a、b都平行的平面（ ）
A. 有且只有一个 B. 恰有两个
C. 没有或只有一个 D. 有无数个
4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）
A. 三个平面共线
B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交
C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交
D. 三个平面两两相交

二、填空题：
5. 用符号语言表示下列语句：
（1）点A在平面内，但在平面外 ；
（2）直线a经过平面外一点M ；
（3）直线a在平面内，又在平面内，即平面和相交于直线a 。
6. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是
7. 在四面体A-BCD中，AD=BC，且，E，F分别是AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为

三、解答题：
8. 证明：已知，，，，求证：四线共面。

9. 正方体中，E、F为AB、中点，求、所成的角的余弦值。

一、选择题：
1. C 解析：选项A反映的是公理1，选项B反映的是公理3，选项D反映的是两平面重合的条件，选项C中与相交，点A在交线上，故选项C表述错误。
2. C 解析：如图，连接A1D，BD，∵A1D//B1C，∴∠BA1D为所求，在△A1DB中，A1D=BD=A1B，∴∠DA1B=60°。

3. C 解析：设点P与直线a确定的平面为，当b平行于a时，过点P且与a、b都平行的平面不存在；当b不平行于a时，过点P且与a、b都平行的平面有且只有一个。
4. C

二、填空题：
5. （1） （2） （3）
6. 相交或异面
7. 解析：如图所示，取BD的中点G，连接EG，GF，则∠EFG为异面直线EF与BC所成的角。因为，
EG//AD，GF//BC，所以EGGF，所以△EGF为等腰直角三角形，所以∠EFG=45°。

三、解答题：
8. 证明：确定平面
∴A、B
∴，
确定平面
同理
过两条相交直线、有且仅有一个平面
∴ 重合
∴ 四线共面
9. 证明：H在上， M为中点
∴

∴HF与所成角等于异面直线、所成的角
设棱长为

中，
∴、所成角的余弦值为

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