2018重庆中考几何专题教师版.doc

25．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP
【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；
（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；
【解答】（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6，
∴cos∠BAD=，
∴AB===12，
∴AC=AB=12，
∵点P、M分别为BC、AB边的中点，
∴PM=AC=6，
（2）如图2，

在ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，
，
∴△BDP≌△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP

25．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．
（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=，求BC的长；
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=BE；

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）作DG⊥AC于G，证明出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；
（2）作DH⊥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；
【解答】解：（1）如图1所示，作DG⊥AC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠ADE=75°，
∴∠2=60°，∠DAG=30°，
∴DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，
∴AG==，
∴AC=AG+CG=+1，
∴BC=AG=+；
（2）如图2所示，作DH⊥AE于H，设DC=a，则DG=CG=a，
∴AD=2DG=a，AG=a，
∴AC=AG+CG=a，
∴BC=AC=（+1）a，
∵∠EAD=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=AD=a，
∵∠4=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=60°，
∴DE=2EH，
∴DE=DH÷=a，
∴BE=BC﹣DE﹣CD=a=DC，
∴DC=BE；

25.（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；
（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；

【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；
（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；
【解答】解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°
∴AC=CD=5
又∵∠EDF=90°，FC=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF=2
∴在Rt△AEF中，EF==
（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1
∵等边三角形ABC中，DF∥AB
∴∠FDC=∠B=60°
∵∠EDF=90°
∴∠BDE=30°
∴DE⊥BE
∴BE=，DE=
如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM
∵∠FDC=∠FCD=60°
∴△CDF是等边三角形
∴CD=CF=1
∴CM垂直平分DF
∴∠DCN=30°
∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1
∴在Rt△DEF中，EF
∵M为EF的中点
∴FM=DM=
∴Rt△MND中，MN==
∴CM=+=
∴==
∴3ED=2MC

25.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

【答案】(1)、；(2)、AG⊥GD，AG=DG；证明过程见解析；
【解析】
试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等边三角形，即可；(3)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等腰三角形，即可．
试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，
∴BG=EG， 在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DCF=90°，
∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠ABH=∠ACD=45°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠CAD+∠HAC=90°， 即∠HAD=90°， ∴AG⊥GD，AG=GD； 在Rt△ABC中，AB=AC=，
∴BC=6 在Rt△DCH中，DC=2，HC=BC﹣BH=6﹣2=4， ∴DH==2， ∴GD=DH=，
∴AG=GD=．
（2）AG⊥GD，AG=DG；
如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，
∴BG=EG，在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60， ∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC∠HAD=60°， ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，
∴tan∠DAG=tan30°=， ∴AG=DG；

25．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．
（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；
（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；
（
【解析】
试题分析：（1）根据30°的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求△AEC的面积；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，则△MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根据线段的和代入得结论；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（3）根据将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜30°）得到线段AE′，先计算当AE旋转时DN的最小值和最大值，当α=0°时，DN最小；当α=180°时，DN最大，分别计算，写出结论．
试题解析：（1）在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，
∴ED=EC=×4=2，cos30°=，
∴DC=EC•cos30°=4×=2，
∴AE=2DC﹣ED=4﹣2，
∴=×AE×DC=（4﹣2）×2=12﹣2；
（2）过A作AM⊥AH，交FG于M，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，
又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，
∴∠FAM=∠DAH，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠FGD
∵DH⊥EG，
∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，
∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，
∴∠FGD=∠EDH，
∴∠F=∠EDH，
又∵AF=2CD，AD=2CD，
∴AF=AD，
∴△AFM≌△ADH，
∴AM=AH，FM=DH，
∴△MAH是等腰直角三角形，
∴MH=AH，
∵FH=MH+FM，
∴FH=AH+DH；[来源:学+科+网]

25.（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．

（1）如图（1），若∠A=45°，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．
（2）如图（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE

【答案】（1）2﹣．（2）证明参见解析；
【解析】
试题分析：（1）首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形，然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在Rt△EDF中，可求得DE的长；（2）延长DE至K，使EK=EB，连结AK．首先证明∠AEB=∠AEK，然后依据SAS证明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记AB与DE的交点为O．首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD，然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案．
试题解析：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=，AB∥CD．∴∠A=∠ADE=45°．∵AD⊥BE，∴∠AFB=DFE=90°．∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形．∴BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，∴BF=AF=．∵△EFD为等腰直角三角形，∴EF=DF=AD﹣AF=﹣．∴DE=EF=（﹣）=2﹣．
（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK．

∵2∠AEB=180°﹣∠BED，∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK．∴∠AEB=∠AEK．在△AEB和△AEK中，∴△AEB≌△AEK．∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．又∵AB=AD，∴AK=AD．∴△AKD为等边三角形．∴KD=AD．∴KD=BC．∵KD=KE+DE，∴CB=EB+DE．

7.已知两个全等的等腰直角、△DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中
点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于
M、N．
(1)如图l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC
于M,求证：AM=MC；
(2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连
MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；

（1）∵AC=BC，E为AB中点
CE⊥AB, ∠ACE＝∠BCE =ACB=45o
∠AEC＝90o
∠A=∠ACE=45o
AE=CE
∵DF=EF, ∠DFE＝90o
∠FED=45o ∠FED=∠AEC
又∵AE=CE
AM=MC
（2）AM=MN+CN，理由如下:
在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45o
在与中： ≌
HE=NE，∠AEH＝∠CEN
∠HEM=∠AEC－∠AEH－MEC=∠AEC－∠CEN－MEC=∠AEC－∠MEF==45o
∠HEM=∠NEM=45o
在与中： ≌
HM=MN AM=AH+HM= CN +MN
即AM=MN+CN