福建省宁德市五校教学联合体2014第二学期期中考联考高二试卷理科数学.doc

宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷（满分：150分 时间：120分钟）命题人：金新雄 张沪博 黄传杰 刘荣坤本试卷分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）第I卷（选择题 共60分）一选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复平面上表示复数 (为虚数单位)的点在A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限2. A B 0 C D13已知函数,则其在点处的切线的斜率是A 1 B 2 C D4一个物体的运动方程为，则它在时的速度为A B C D5. 用反证法证明命题：“若则”时，反设正确的是A B C D6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A B C D7. 若在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D. 8.下面使用类比推理正确的是A若直线,则类比推出：若向量，则 B类比推出：C已知，若方程有实数根，则类比推出：已知，若方程有实数根，则D长方形对角线的平方等于长与宽的平方和类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和9.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中, 的图象可能是A B C D10. 设点在直线上,点在曲线上,则最小值为A B C D 11. 已知，现有下列不等式： ； ； ； 其中正确的是A B C D12. 已知定义在上的函数,在处的切线斜率均为.有以下命题:是奇函数;若在内递减,则的最大值为4；若方程有三个根，则的取值范围是；若对恒成立,则k的最大值为. 其中正确命题的个数为A1 B2 C3 D4 第II卷 （非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置13.已知复数 (为虚数单位)为纯虚数，则实数= .14. 已知函数，则= .15. .16.已知. 有个同学用以下方法求，令,得；由，令,得，由，令,得，依此类推，我们可得 .三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知复数，若.（I）求； （II）求实数的值.18（本小题满分12分）已知数列，（I）求，的值；（II）猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.19.（本小题满分12分）已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）求的极值.20. （本小题满分12分）函数的图象在点处的切线方程为.（I）求，的值； （II），若时，且存在使得，求复数在复平面上对应的点构成的区域面积.21. （本小题满分12分）宁德至福州铁路里程约为，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度（米/分钟）关于时间（分钟）满足函数关系：，且，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶至终点（福州站）.（I）求：前2分钟速度的函数关系式；（II）求动车运行过程中速度的最大值.22. （本小题满分14分）设，（I）（i）求的表达式；（ii）令,证明：函数恰有一个零点；（II）求证：宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷参考答案一选择题1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.D 9.B 10.A 11.C 12.B二填空题13. 14. 0 15. 16. 三解答题17.解：（I）. 4分 所以 6分（II）把代入，即，得. 9分所以，解得. 11分所以实数的值分别为，. 12分18. 解：（I），且 ， ，； 6分（II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明. 当时，满足要求，猜想成立； 8分 假设时，猜想成立，即, 8分 那么当时， 这就表明当时，猜想成立， 11分根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.12分19.解（I）当时，定义域为， 1分由，可解得， 3分，可解得 4分所以函数的单调递减区间为；单调递增区间； 5分（II）由可得， 6分当时，当时恒成立；此时，函数在上单调递增，所以无极值. 8分当时，令可得； 9分当时，当时， 10分所以是函数的极小值点，极小值为； 11分综上所述，当时函数无极值. 当时函数有极小值，无极大值. 12分（注:要指明函数无极大值，否则扣1分）20.解（I）， 依题意， 4分（II）由（I）可得，令解得，（舍去）， 6分当变化时，的变化如下表：1+极小值3由上表可得， 8分所以.所以在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为 12分21.解:（I） 1分 又, , 3分 前2分钟运行的路程为. 5分 依题意得: 即,解得 8分（II） 在上为增函数, 当时,. 动车在行使过程中的最大速度为. 12分22. 解：（I）（i） ， 解得. 3分 4分 （ii）由（i）知所以 5分 设，则令可得. 当时，当时， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以时，有极小值，也就是最小值为0，所以 所以，故是上的增函数. 又，所以有一个零点. 7分 假设不只一个零点，不妨设有两个零点，分别为且. 则，从而， 又是上的增函数，且，所以 这与相矛盾，所以假设不成立， 所以只有一个零点. 9分（II）证明：由（I）得，当时，有，当且仅当时取等号， 因此，。 10分 12分 ， 故 14分