2012上海市浦东高三一模数学试题及答案理科.doc

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测 高三数学（理科）试卷 2012.01注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知函数的反函数为，则_.2椭圆的焦点坐标为_.3方向向量为，且过点的直线的方程是_.4若，则实数的取值范围是 .5某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_ .6某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 .7若的二项展开式中的系数为，则实数_.8已知向量，若，则_.9从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则 的概率为_.第11题图10已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为 .11已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为 .12已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则_.13函数的最小正周期为_.14若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：、；对于的任意子集、，当且时，有；对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“集合类”.例如：是集合的一个“集合类”。已知集合，则所有含的“集合类”的个数为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15“”是“”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ ）A. ， B. ， C. ， D. 共面17动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是 （ ）A. B. C. D. 18已知共有项的数列，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为 （ ）A. 2 B. C. D. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.（1）求这个几何体的表面积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.21（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 的三个内角、所对的边分别为、，已知，（1）当时，求的值；（2）设，求函数的值域.22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结 论奇偶性单调性递增区间递减区间零点 （3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测 高三数学（理科）试卷 2012.01参考答案及评分标准注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1已知函数的反函数为，则_2_.2椭圆的焦点坐标为_，_.3方向向量为，且过点的直线的方程是 .4若，则实数的取值范围是 .5某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_ .6某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 50 .7若的二项展开式中的系数为，则实数_.8已知向量，若，则.9从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则 的概率为_.10已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为 .第11题图11已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为 .12已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则_.13函数的最小正周期为.14若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：、；对于的任意子集、，当且时，有；对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“集合类”.例如：是集合的一个“集合类”。已知集合，则所有含的“集合类”的个数为 10 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15“”是“”的 （ A ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ C ）A. ， B. ， C. ， D. 共面17动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是 （ D ）A. B. C. D. 18已知共有项的数列，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为 （ C ）A. 2 B. C. D. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.解：设（）， 1分， 3分 而， 6分又在复平面上对应的点在直线上， 8分即，或；10分即.12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.（1）求这个几何体的表面积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.解：（1）； 6分（2）连结、，则，所以或其补角为异面直线与所成的角. 9分在中，12分因为，所以.所以，异面直线与所成的角的大小为.14分21（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分. 的三个内角、所对的边分别为、，已知，（1）当时，求的值；（2）设，求函数的值域.解：（1），2分，；6分 （2）由，得，7分 9分， 11分 ,，, 12分的值域为.14分22（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.解：（1），为集合中的元素，即.2分，为集合中的元素，即.4分 （2）， 当时，对恒成立，此时，；7分 当时，令，；设为不超过的最大整数，令，此时，.10分（3），令，即；当时，于是，当时，于是；13分 ，有和项，共82项.16分23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结 论奇偶性单调性递增区间递减区间零点 （3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.解：（1），2分；4分 （2）；7分函数性质结 论奇偶性偶函数单调性递增区间，递减区间，零点， 10分（3）（i）易知直线恒过原点； 当直线过点时，此时点到直线的距离为，直线 与曲线相切，当时，恒在曲线之上，（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线 的距离为，此时点到直线的距离为，直线 与曲线相离；（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线 的距离为，此时点到直线的距离为， 直线与曲线相交于两个点；（）当直线过点时，此时点到直线的距离为 ，直线与曲线相交于两个点； 点到直线的距离为，直线与曲线 相交于两个点； （）当时，直线与曲线有且只有5个交点； （）当时，直线与曲线有且只有1个交点； 因为函数的图像关于轴对称，14分故综上可知： （1）当时，方程只有1实数根；（2）当时，方程有3个实数根；（3）当时，方程有5个实数根；（4）当或时，方程有7个实数根；（5）当时，方程有9个实数根；（6） 当时，方程有11个实数根.18分