2012上海市浦东高三一模数学试题及答案理科.doc

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测
高三数学（理科）试卷 2012.01
注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．已知函数的反函数为，则_____.
2．椭圆的焦点坐标为____________.
3．方向向量为，且过点的直线的方程是______.
4．若，则实数的取值范围是 .
5．某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_ .
6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分
层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 .
7．若的二项展开式中的系数为，则实数____________.
8．已知向量，，若，则______.
9．从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则 的概率为_____.
第11题图
10．已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为 .
11．已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为 .
12．已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.
13．函数的最小正周期为__________.
14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．“”是“”的 （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 共面
17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
18．已知共有项的数列，，定义向量、
，若，则满足条件的数列的个数为 （ ）
A. 2 B. C. D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，
（1）当时，求的值；
（2）设，求函数的值域.
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.
23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.
（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；
（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：
函数性质
结 论
奇偶性

单调性
递增区间

递减区间

零点

（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测
高三数学（理科）试卷 2012.01
参考答案及评分标准

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.
2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．已知函数的反函数为，则__2___.
2．椭圆的焦点坐标为__，__________.
3．方向向量为，且过点的直线的方程是 .
4．若，则实数的取值范围是 .
5．某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_ .
6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分
层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 50 .
7．若的二项展开式中的系数为，则实数_________
8．已知向量，，若，则.
9．从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则 的概率为_____.
10．已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为 .
第11题图
11．已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为 .
12．已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.
13．函数的最小正周期为.
14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为 10 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．“”是“”的 （ A ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ C ）
A. ， B. ，
C. ， D. 共面
17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是 （ D ）
A. B.
C. D.
18．已知共有项的数列，，定义向量、
，若，则满足条件的数列的个数为 （ C ）
A. 2 B. C. D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.
解：设（）， …………………………………………………………1分
∵，∴， ……………………………………………………3分
而， ………………………………6分
又∵在复平面上对应的点在直线上，
∴， ……………………………………………………………………8分
即，∴或；…………………………………………10分
即.…………………………………………………………………………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求这个几何体的表面积；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

解：（1）； …………6分
（2）连结、、，则，
所以或其补角为异面直线与所成的角. ……9分
在中，，
，………………………………………………12分
因为，
所以.
所以，异面直线与所成的角的大小为.……14分
21．本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，
（1）当时，求的值；
（2）设，求函数的值域.
解：（1），……………………………………………………………2分
，；……………………………………6分
（2）由，得，………………………………7分

………………………………9分
， ……………………………………11分
,，
∴, ……12分
∴的值域为.………………………………14分
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.
设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.
解：（1），
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………2分
，
∴
∴为集合中的元素，即.………………………………………4分
（2），
当时，对恒成立，此时，；…………7分
当时，令，，；
设为不超过的最大整数，令，，
，此时，，.…………………………10分
（3），令，
，即；
当时，，于是，
当时，，于是；………………13分
∵，，
，，，，
∴有和项，共82项.……………………16分
23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.
（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；
（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：
函数性质
结 论
奇偶性

单调性
递增区间

递减区间

零点

（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.
解：（1），…………2分
；……4分
（2）；……7分

函数性质
结 论
奇偶性
偶函数
单调性
递增区间
，
递减区间
，
零点
，
…………10分
（3）（i）易知直线恒过原点；
当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相切，当时，恒在曲线之上，
（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，直线
与曲线相离；
（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线
的距离为，，此时点到直线的距离为，
直线与曲线相交于两个点；
（ⅳ）当直线过点时，，此时点到直线的距离为
，直线与曲线相交于两个点；
点到直线的距离为，直线与曲线
相交于两个点；
（ⅴ）当时，直线与曲线有且只有5个交点；
（ⅵ）当时，直线与曲线有且只有1个交点；
因为函数的图像关于轴对称，………………14分
故综上可知：
（1）当时，方程只有1实数根；
（2）当时，方程有3个实数根；
（3）当时，方程有5个实数根；
（4）当或时，方程有7个实数根；
（5）当时，方程有9个实数根；
（6） 当时，方程有11个实数根.……………………18分