小升初数学工程问题1.doc

小升初数学工程问题1第七讲 工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量=工作效率时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位所需时间=工作量工作效率=6（天）两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30（3+ 2）= 6（天）因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.7.1 两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 3） 3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天）.答：乙还需要做 56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做23=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）16- 60= 20（份）.因此乙休息天数是（20- 3 3） 2= 5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要（60-48）（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-38）（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.