湖南省衡阳市高三第二次联考二模数学试卷文含答案.doc

2016年湖南省衡阳市高三第二次联考（二模）文科数学试卷

一、单选题（共12小题）
1．已知复数（其中为虚部单位），则在复平面内对应的点位于（   ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（   ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（   ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：
则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性（   ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（   ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．数列中，已知，且，则数列为（   ）
A．等差数列 B．等比数列
C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
7．将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数个，则函数的单调递减区间是（   ）
A． B．
C． D．
8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的侧面积是（   ）
A．
B．
C．
D．
9．已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（   ）
A． B． C． D．
10．对于，有如下四个命题：①若，则为等腰三角形；②若，则为直角三角形；③若，则为锐角三角形；④若，则为等边三角形，其中正确的命题个数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知双曲线的焦距长为，过原点作圆：的两条切线，切点分别是，且，那么该双曲线的离心率为（   ）
A． B． C．2 D．
12．设是定义在的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（   ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题）
13.用系统抽样从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1-160编号，并按编号顺序平均分成20组（1-8号，9-16号，…，153-160号），若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是          ．
14.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则实数          ．
15.已知，则          ．
16.某同学在研究函数的性质时，受到两点间的距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是          ．（填上所有正确结论的序号）①的图象是中心对称图形；
②的图象是轴对称图形；
③数的值域为；
④方程有两个解．

三、解答题（共8小题）
17.已知公差大于零的等差数列，各项均为正数的等比数列，满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：．

18.2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节目，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不换龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．
（1）能否在犯错率不超过0．001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？
（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．
附：．

19.如图，在多面体中，四边形是正方形，，为的中点．
（1）求证：面；
（2）求证：面；
（3）求四面体的体积．

20.已知抛物线上三个不同的点，满足关系式．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的外接圆面积的最小值及此时的外接圆的方程．
21.已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．

22.如图， 是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点（不与重合）与圆相切于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，试求的大小．

23.已知曲线的参数方程为，（为参数）．
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围．

24.已知．
（1）求的最小值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

答案部分
1.考点：复数乘除和乘方
试题解析：
故答案为：B
答案：B

2.考点：集合的运算
试题解析：B={x|x<0或x>4},．
故答案为：B
答案：B

3.考点：充分条件与必要条件
试题解析：，，
所以“”是 “”的必要不充分条件。
故答案为：B
答案B

4.考点：变量相关
试题解析：越大，越小，线性相关性越强。
丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性。
故答案为：D
答案：D

5.考点：算法和程序框图
试题解析：；；；
；，k=6,输出T=3．
故答案为：A
答案：A

6.考点：等比数列数列的概念与通项公式
试题解析：因为
所以
，又不满足上式，
所以数列为从第二项起为等比数列。
故答案为：D
答案：D

7.考点：三角函数的图像与性质三角函数图像变换
试题解析：由题知：，
令
故答案为：A
答案：A

8.考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
试题解析：该几何体为半个圆锥。
所以
故答案为：D
答案：D

9.考点：几何概型
试题解析：因为，所以P为中线AD的中点。
所以
故答案为：C
答案：C

10.考点：解斜三角形
试题解析：对①：若，则或，故错；
对②：若，则或，故错；
对③：若，只能得到为锐角，故错；
对④：若，，
，所以正确。
故答案为：A
答案：A

11.考点：双曲线
试题解析：由题可得：，所以．
故答案为：C
答案：C

12.考点：三角函数综合
试题解析：令，由题知：g（x）是偶函数，
则在上递减，在上递增，
当时，；
当时，。
综上：的解集为：。
故答案为：B
答案：B

13.考点：抽样
试题解析：第1组中用抽签法确定的号码是。
故答案为：6
答案：6

14.考点：线性规划
试题解析：作可行域：

由图知：点A（0,3）到直线的距离最大，
为，因为，。
故答案为：1
答案：1

15.考点：倍角公式诱导公式
试题解析：
故答案为：
答案：

16.考点：函数综合
试题解析：，关于直线对称，故②正确；
又  ，．故③正确。
故答案为：②③
答案：②③

17.考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和等比数列等差数列
试题解析：⑴设等差数列的公差为，等比数列的公比为

， 
⑵

两式相减得：

答案：见解析

18.考点：古典概型统计案例
试题解析：（1）由题意可得列联表：

故能在犯错率不超过0．001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系
（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表：

分组的情况总共有6种，
工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占2种，
所以工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率
答案：见解析

19.考点：空间几何体的表面积与体积垂直平行
试题解析：（1）设与交于点，连结、．
、分别为、的中点
，又
，又
为平行四边形
，又平面，平面
平面．
（2），
，又，
平面，又平面
，又，
平面，又
平面
，又，
平面．
（3）
答案：见解析

20.考点：圆锥曲线综合抛物线
试题解析：（1），，抛物线的方程为 
（2）设 ，，则，

，
，且

当时，；当时，

，，从而的外接圆的直径为
要使的外接圆面积最小，须最小

令，

时，，递减；
时，，递增
又，
，此时 
，的外接圆面积．
，
的外接圆的圆心为，半径
的外接圆方程为
答案：见解析

21.考点：利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义
试题解析：（1），

，即：
．
（2）令，
对恒成立
在内单调递增，且 
①当，即时，
在上为增函数

②当，即时，
由在内单调递增知：
存在唯一，使得，即．
令，得，，得；

，即．

综上，实数的取值范围是．
答案：见解析

22.考点：圆相似三角形
试题解析：（1）设，则有：，．

又
（2）

又
∽

．
答案：见解析

23.考点：参数和普通方程互化
试题解析：（1）
又
的普通方程为， 
（2）设直线的参数方程为，为倾斜角，且
代入曲线得：
设两根为，，
故
答案：见解析

24.考点：均值定理的应用绝对值不等式
试题解析：（1），，

，此时，．
（2）对恒成立

或或
或或

答案：见解析