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北师版八年级下册数学知识点期中复习及其练习

知识要点总结
三角形的证明
1、全等三角形
（1）性质：全等三角形的 对应边 、 对应角 相等。
（2）判定：“SAS”、 SSS 、AAS 、 ASA 、 HL(直角三角形) 。
2、等腰三角形
（1）性质：①等腰三角形的 两底角 相等。（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高线 互相重合（三线合一）。
（2）判定：① 有两边相等的三角形是等腰三角形
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
（3）反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果
命题：由条件和结论组成
逆命题：由结论和条件组成
3、等边三角形
（1）定义： 三条边都相等 的三角形是等边三角形。
（2）性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等
②具有等腰三角形的一切性质。
（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形
②有一个角 等于60度的等腰三角形是等边三角形。
4、 直角三角形
(1) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜 边的一半。
(2) 定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半
(3) 直角三角形的两锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形
(4) 勾股定理； 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
（5）“斜边、直角边”或“HL”
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
定理的作用：判定两个直角三角形全等
5、线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
（2）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
6、角平分线
（1）角平分线上的点到这个叫的两边的距离相等
（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

不等式
一. 不等关系
※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.
※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二. 不等式的基本性质
※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .
(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:
用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右,小向左
四. 一元一次不等式:
※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.
※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.
※3. 解一元一次不等式的步骤:
①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1(不等号的改变问题)
¤5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;
②设: 设出适当的未知数;
③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.
五. 一元一次不等式与一次函数
六. 一元一次不等式组
※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
※3. 解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
二. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如:
※2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 运用公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
※2. 主要公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
¤3. 易错点点评:
因式分解要分解到底.如就没有分解到底.
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
※5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
五. 十字相乘法:
※1.对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解.
如:
※2. 二次三项式的分解:

※3. 规律内涵:
(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
※4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

八年级下册 数学期中测试卷
一．选择题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

3．不等式组的解集是（ ）
A．x≥8 B．x＞2 C．0＜x＜2 D．2＜x≤8
4．若把不等式组的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为
A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线
5.不等式的解集在数轴上表示为　　(　　　　)

6.不等式1＋x＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．
7.如图，在四边形中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8. 不等式5x－1＞2x+5 的解集在数轴上表示正确的是

二、填空题（每小题3分，共21分）
1．不等式2x－3≥x的解集是 ．
2.若关于x的不等式（1－a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是 .
3. 一元一次不等式组的解集是 .
4．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+错误！未找到引用源。，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）

5．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　 　．（不唯一，只需填一个）
6．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　 　（只写一个条件即可）．

7.如图，ABAC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．

三、 解答题（每小题7分，共49分）
1、 解不等式组：

2、解不等式组： 并写出其整数解。

3、解不等式组，并指出它的所有的非负整数解.

4．已知是关于的不等式的解，求的取值范围。

5．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求证：BC=DC．

6．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？

7．雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拔了用于搭建板房的板材5600m3和铝材2210m3,计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间.若搭建一间甲型 板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：
板房规格
板材数量(m3)
铝材数量(m3)
甲型
40
30
乙型
60
20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案.