2011数学中考压轴题解题策略含策略答案速度提高解题能力.doc

中考压轴题解题策略
一、动态问题（动态问题拍个照，每个时刻表达到，分类讨论无重漏，综合答案不可少。）

x
y
D
A
C
O
P
3．（2010江西24）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

【关键词】二次函数、图形的平移、等腰三角形、面积等

【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2
∴点A的坐标是（2，0），
△PCA是等腰三角形，
（2）存在。
OC=AD=m,OA=CD=2，
（3）当02时，如图2
作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=m-2，∴AH=
∴=OH= = ,
把把=代入y=-2x2+4x，得
得, =
∵CD=OA=2，
∴．

（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
B E→ F→ C
A D
G

【答案】解：⑴ x，D点；
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.
B E C F
A D
G
P
H
图2
综上所述：当x＝时，y最大＝.
B E F C
A D
G
N
M
图1

二、等腰三角形（有两个定点一个动点）
（两圆一线很给力，等腰三角一网灭，通常纵横各4点，六十特殊三合一。）
1. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C在x轴上，⑴若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标。⑵若点C在y轴上呢？试直接写出点C的坐标。（中）

点C在x轴上（）（）（）（）
点C在y轴上（0，6）（）（）（）
2 (2010重庆市潼南县)如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴
解得： b=－ c=－1-------------------2分
∴二次函数的解析式为 --------3分
（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）
∴ OD=m ∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得， --------------4分
∴
∴DE=-----------------------------------5分
∴△CDE的面积=××m
==
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分
（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2 x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴ 解得：k=-1 b=-1
∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0) 点C（0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中
k2+k2= 解得k1=， k2=－
∴P1（，－） P2（－，）---10分
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣ GP∣－k－1∣
在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2
（2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2) ----------------------------------11分
③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中
(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k=∴P4(,－) ----------------12分
综上所述： 存在四个点：P1（，－）
P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)

三、等腰三角形（有一个定点两个动点）
（两个动点论等腰，勾股定理一肩挑，两两相等三情况，综合结论不可少。）
1.（2006山东德州）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．
（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；
（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；
Ｎ
B
A
M
P
C
O

（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．

[解] （1）由题意可知，，，
点坐标为．
（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中．
．
的最大值为，此时．
（3）延长交于，则有．
Ｎ
B
A
M
P
C
O

Ｑ
①若，
．
，
．
②若，则，
．
③若，则．
，
在中，．
，．
综上所述，，或，或．

45．(2006年苏州市)如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了s．
(1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数式表示）
(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?
(3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.

解：(1)(2+，4－)。 (2)由题意，得P(5－x，0)，0≤x≤5．由勾股定理，求得PQ2=(一3)2+(4－)2,AP2=(3 －x)2+42，若AQ=AP，则x2=(3-x)2+42，解得x=，若PQ=AP，则(-3)2+(4－)2=(3-x)2+42，即x2-10x=0，解得x1=0(舍去)x2=。经检验,当x=或x=时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．(3)解：设AB，BO的中点分别为点M，N，则点G随点P，Q运动所形成的图形是线段MN．证法一：由M（，2），N(，0)，可求得线段MN的函数关系式为y=2x－5，(≤x≤)，由P(5-x，0),Q(2+,4－),则G(，G(满足y=2x－5 ∴点G在线段MN上．
证法二：设MN，PQ相交于点G/，过点P作PK∥AO交AB于点K．
∴PK∥AO∥MN．∴△A0B∽△KPB∽△MNB．∵AB=OB，∴BK=BP=AQ，BM=BN
∴BK－BM=AQ-BM．即KM=QM．∴PG/、=QG/，∴G/是PQ的中点，即点G/与点G重合．

四、最短距离（两点位于线同侧，对称使之和最短，到线距离为定值，两条平行无重漏。）
1.．(2010年北京崇文区) 已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

【关键词】二次函数与动点
【答案】解：（1）依题意：
解得
抛物线的解析式为．
（2）点A（1，3）关于轴的对称点的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于轴的对称点的坐标是（2，-1）．由对称性可知
=
由勾股定理可求AB=，．
所以，四边形ABCD周长的最小值是．
（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线EG成角，则EG与对称轴的交点为所求的F点．
设对称轴于轴交于点H，在Rt中，由HE=1，，得HF=1．所以，点F的坐标是（1，1）．

25．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
E
A D
B C
N
M
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

25．（满分13分）解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS ………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………7分
F
E
A D
B C
N
M
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝. ………………12分
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为. ………………13分