广大附中学中考一模数学试卷含答案.doc

广大附中2015-2016学年初三一模数学测试卷
问 卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列命题中，正确的是（ ）
A．内错角相等 B．同位角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补
2. 已知，则a与b的关系是（ ）
A. ab=1 B. a=b C. a=-b D. ab=-1
3. 当k>0时，双曲线与直线的公共点有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复赛. 若小新知道了自己的成绩，则由其他19名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
5. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）

A B C D
6.如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（　　）
A．5 B．6 C． D．

第6题 第8题
7.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（　　）

A B C D
8.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
9.如图，将一张等腰直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（　　）

A．甲＜乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙 C．甲＞乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙
10.如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是( )

　　A．①②　　B．①④　　C．②③　　D．③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11.在实数范围内因式分解：______________；
12.在，1，2这三个数中任选2个数分别作为P点的横坐标和纵坐标，过P点画双曲线，该双曲线位于第一、三象限的概率是 ；
13.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是　　　　；
14．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8，底边为6的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为　 　；
15. 如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP·AM+BP·BN的值为__________；

16.在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．
请问：若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是　　　　　　．

三、计算题（本大题共7小题，共102分）
17.（本题10分计算
（1）解方程：
（2）先化简，再求代数式的值，其中.

A
C
北
B
东
P
18. （本题8分）若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
19. （本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观察站，A在B的正东方向，A与B相距2千米.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向.
（1）求点P到海岸线的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间
后到达点C处，此时，从B点测得小船在北偏西
的方向.求点C与点B之间的距离.
（注：答案均保留根号）

20．（本题10分）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项.
（1）每位考生有 选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率.

21.（本题12分）如图，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

C
P
O
F
E
A
D
B

22. （本题12分）如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分∠，交于点，连接.
（1）求证：平分∠；
（2）求证：PC=PF；
（3）若，AB=14，求线段的长．
23．（本题12分）在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．
24．（本题14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

25.（本题14分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）的顶点为，等腰直角三角形的定点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限.
（1）如图，若该抛物线过 ，两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在射线上滑动，且与射线交于另一点.
i）若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
ii）取的中点，连接.试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

（奥班课改班）广大附中2015-2016学年初三一模数学测试卷
参考答案
一、选择题
1-5CBACD 6-10BCCDD

二、填空题
11、； 12、； 13、或；
14、或； 15、36； 16、

17.（1）…………………………….….….3分
检验…………………………………….4分
无解…………………………………….5分
（2）原式=……………………………….3分
………………………………4分
原式=………………………………….5分
18.解3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得x＜2a，
∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a．………………………………4分
∵关于x的不等式组恰有三个整数解，
∴2＜2a≤3，………………………………6分
解得1＜a≤．………………………………8分

19.解1）作PD⊥AB于点D，设PD=x，
由题意可知∠PBA=，∠PAB=，∴BD=x，AD=，
∵AB=2，∴,
∴,………………………………4分
∴点P到直线AB的距离是()千米。………………………………5分
（2）过点B作BF⊥AC于点F，由题意得∠PBC=，∠CPB=，
∴∠C=，………………………………7分
在Rt△ABF中，∠PAB=，AB=2，∴BF=1，∴BC=…………………………9分
∴点B与点C之间的距离为千米。………………………………10分

20.解：（1）4；………………………………2分
（2）把4种中方案分别列为：
A：立定跳远坐位体前屈；B：实心球、1分钟跳绳；
C：立定跳远、1分钟跳绳；D：实心球、坐位体前屈；
画树状图如下：
………………………………7分
由上表可知共有16种等可能的情况，满足小明与小刚选择同种方案的有4种；………9分
∴小明与小刚选择同种方案的概率=…………………………10分

21.（1）∵直线过两点
∴ ∴
……………………2分

∴已知函数的表达式为……………………………3分
∴设M（，）作MD⊥轴于点D
∵S△=2 ∴ ∴∴
∴将M（，4）代入得 ∴……………………5分
∵M（3,4）在双曲线上 ∴ ∴
∴反比例函数的表达式为……………………6分
（2）过点M（3,4）作MP⊥AM交轴于点P
∵MD⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO==2……………………7分

∴在△PDM中，
∴PD=2MD=8 ……………………9分
∴OP=OD+PD=11……………………10分
∴在轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11,0）………………12分
（其它解法酌情给分）

22.解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．……………………1分
又AD⊥PD，∴OC∥AD．……………………2分
∴∠ACO＝∠DAC．
又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．……………………4分
（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°．……………………5分

C
P
O
F
E
A
D
B
又AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB＋∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．……………………6分
又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，……………………7分
∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF ……………………8分

（3）
∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴．……………………9分
又tan∠ABC＝，∴，∴．……………………10分
设，，则在Rt△POC中，，
∵AB=14，
∴，
∵，∴，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．……………………11分
∴．……………………12分
（其它方法请酌情给分）
23.解：（1）∵一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴y=0时，x=﹣4，∴A（﹣4，0），AO=4，
∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，∴AB=5；……………………3分
（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，……………………5分
∵点P在l1上，∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，∴PQ=6；……………………7分
连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：，
∴，∴，∴QC=，……………………8分

∴a=OQ+QC=，……………………9分
②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，∴PQ=，……………………10分
连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，
∴，=，∴QC=，a=QC﹣OQ=，……………………11分
∴a的值为和，……………………12分
（其它方法请酌情给分）
24． 解：（1）k=1；……………………2分
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，
设BD与AC的交点为Q. ……………………4分
由题意，tan∠BAC=，∴ .
∵ D、E、B三点共线，∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,
∴ ∠QBC=∠EAQ. ……………………5分
∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ .
∴ .∴ GB=DE. ……………………7分
∵ F是BD中点，∴ F是EG中点.
在中，,
∴ . ……………………8分
（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，
……………………9分
∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,
∴AC=12，AB=.
∵M为AB中点，∴CM=,……………………10分
∵AD=，
∴AD=.
∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM== 2.
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.……………………12分
情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，
连结MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为.
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为 ……………………14分
25.解：(1)由题意，得点B的坐标为(4，–1)．……………………1分
∵抛物线过点A(0，–1)，B(4，–1)两点，
∴解得……………………2分
∴抛物线的函数表达式为：．……………………3分 (2)ⅰ)∵A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)．
∴直线AC的解析式为：y＝x–1．
设平移前的抛物线的顶点为P0,则由(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为(m，m－1)，
则平移后的抛物线的函数表达式为．
解方程组得
即P(m，m－1)，Q(m－2，m－3)．……………………4分
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m－(m－2)=2，QE=(m－1)－(m－3)=2．
∴PQ ==AP0．……………………5分
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分以下两种情况：
①当PQ为直角边时：M到PQ的距离为为2(即为PQ的长)．
由A(0，－1)，B(4，－1)，P0(2，1)可知：
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=2．
过点B作直线l1∥AC交抛物线于点M,则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：．
又∵点B的坐标为(4，–1)，∴．解得．………………6分
∴直线l1的解析式为：．
解方程组得：
∴； 舍去……………………8分
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得M到PQ的距离为为．
取AB的中点F，则点F的坐标为(2，－1)．
由A(0，－1)，F(2，－1)，P0(2，1)可知：△AFP0为等腰直角三角形，且F到AC的距离为．
∴过点F作直线l2∥AC交抛物线于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：．
又∵点F的坐标为(2，–1)，
∴．解得．……………………9分
∴直线l2的解析式为：．
解方程组
得：
∴， 舍去． ……………10分
综上所述：所有符合条件的点M的坐标为：
，．
ⅱ) 存在最大值，理由如下：
由ⅰ)知PQ=2，当NP+BQ取最小值时，有最大值．
取点B关于AC的对称点B′，易得B′ 的坐标为(0，3)，BQ= B′Q．
……………………11分
连接QF，FN，QB′，易得FN PQ．
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．……………………12分
∴NP+BQ＝F Q+ B′P≥F B′＝．……………………13分
当B′，Q，F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
∴的最大值 为=．……………………14分

班级 姓名 学号
题 答 得 不 内 线 封 密
广大附中2015-2016学年初三一模试题
数 学 答 卷

题号

选择题

填空题
解答题

总分
17
18
19
20
21
22

得分

一．选择题（每题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二．填空题（每题3分，共18分）

11.________ 12.________________ 13.________________

14.________________ 15.________________ 16.________________
三．解答题（本大题共9小题，满分102分）
17.（本题满分10分）（1）解方程：

_______________________________________________________________________________
（2）先化简，再求代数式的值，其中.

_______________________________________________________________________________
18. （本题满分8分）

19.（本题满分10分）

_______________________________________________________________________________

20.（本题满分10分）（本题10分）
（1）每位考生有 选择方案；
（2）用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率.

21.（本题满分12分）

_______________________________________________________________________________
22. （本题满分12分）

23. （本题满分12分）

班级 姓名 学号
题 答 得 不 内 线 封 密
24. （本题满分14分）

25. （本题满分14分）