2018中考数学总复习第1编教材知识梳理篇图形的相似.docx

第五章图形的相似与解直角三角形 第一节图形的相似与位似 河北五年中考命题规律 年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分 2016 15 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件 2 11 23 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 9 2014 13 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似 3 3 2013 11 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 3 3 2017、2015年均未考查 命题规律 纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值211分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题). 河北五年中考真题及模拟 图形相似的判定及性质 1(2016河北中考)如图，ABC中，A78，AB4，AC6.将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C) ,A) ,B) ,C) ,D) 2(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3，4，5的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似. 图 图 乙：将邻边为3和5的矩形按图的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似 对于两人的观点，下列说法正确的是(A) A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对 图形的位似 3(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是(D) A点M B点N C点O D点P 4(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则的度数是(A) A87 B60 C75 D1205(2017唐山中考模拟)如图，在ABC中，C90，点D，E分别在边AC，AB上，若BADE，则下列结论正确的个数是(D) B和A互为补角；A和ADE互为余角；ABCADE；如果AB2AD，则SADESABC14；ABC与ADE位似 A4 B2 C1 D3 6(2016沧州八中一模)如图，在ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于(A) A58 B38 C35 D257(2016石家庄二十八中一模)如图，在 ABCD中，AB6，AD9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线 于点F，BGAE于点G，BG42，则EFC 的周长为(D) A11 B10 C9 D8 8(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与AOB相似这样的直线最多可以作(C) A2条 B3条 C4条 D6条 9(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG1，BF2，GEF90，则GF的长为(D) A4 B2 C5 D3 10(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(D) A正方形与矩形 B正方形与菱形 C菱形与菱形 D正五边形与正五边形 11(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，AC90，BDBE，ADBC. (1)求证：ACADCE； (2)若AD3，CE5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值 解：(1)AC90，DBBE， ADBABD90，ABDEBC90. ADBEBC. 又ADBC，ADBCBE(ASA)， ABCE.ACBCABADCE； (2)过点Q作QHBC于点H. 则ADPHPQ，BHQBCE， ADHPAPHQ，BHBCQHEC. 设APx，QHy，则有BH3y5， BH3y5，PH3y55x， 33y55xxy，即(x5)(3y5x)0. 又点P不与A，B重合， x5，即x50. 3y5x0，即3y5x. DPPQxy35.12(2016河北中考)如图，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧 (1)AE和ED的数量关系为_； AE和ED的位置关系为_； (2)在图中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，H是B C所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图和图. 在图中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点，求证：GHHD，GHHD. 在图中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD.(用含k的代数式表示) 解：(1)AEED；AEED； (2)由题意，得BC90， ABBEECDC. EGF与EAB的相似比为12， GFEB90，GF12AB，EF12EB， GFEC. H是EC的中点， EHHC12EC， GFHC，FHFEEH12EB12EC12BCECCD， HGFDHC. GHHD，GHFHDC. HDCDHC90， GHFDHC90. GHD90，GHHD； GHHD，GHHD， FHGDHC90. FHGFGH90，FGHDHC. 在FGH和CHD中， FGHCHD，GFHHCD，GHHD， GFHHCD.FGCH. EFFG，EFCH. EGF与EAB的相似比是k1，BC2， BEEC1， EFk，CH的长为k. ,中考考点清单)比例的相关概念及性质 1线段的比：两条线段的比是两条线段的_长度_之比 2比例中项：如果abbc，即b2_ac_，我们就把b叫做a，c的比例中项 3比例的性质性质 内容 性质1 abcd_ad_bc(a，b，c，d0)性质2 如果abcd，那么abbcdd.性质3 如果abcdmn(bdn0)，则acmbdn_mn(不唯一)_.4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使ACAB_BCAC_，那么点C叫做线段AC的_黄金分割点_，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做_黄金比_ 相似三角形的判定及性质 5定义：对应角_相等_，对应边_成比例_的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比 6性质： (1)相似三角形的_对应角_相等； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例； (3)相似三角形的周长比等于_相似比_，面积比等于_相似比的平方_ 7判定： (1)_有两角_对应相等，两三角形相似； (2)两边对应成比例且_夹角_相等，两三角形相似； (3)三边_对应成比例_，两三角形相似； (4)两直角三角形的斜边和一条直角边_对应成比例_，两直角三角形相似 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路： (1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角用判定(1)或再找夹边成比例用判定(2)； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； (4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知ABCDEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案 如：ABBCDEEF，此式正确那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明相似多边形 8定义：对应角_相等_，对应边_成比例_的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比 9性质： (1)相似多边形的对应边_成比例_； (2)相似多边形的对应角_相等_； (3)相似多边形周长的比_等于_相似比，相似多边形面积的比等于_相似比的平方_ 位似图形 10定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做_位似图形_，这个点叫做_位似中心_，相似比叫做位似比 11性质： (1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于_k或k_； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_位似比或相似比_ 12找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是_位似中心_ 13画位似图形的步骤： (1)确定_位似中心_； (2)确定原图形的关键点； (3)确定_位似比_，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点； (5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点,中考重难点突破) 比例的性质 【例1】已知a5b4c3，且3a2bc20，则2a4bc的值为_ 【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可 【答案】6 1(2015沧州十三中一模)若xy13，2y3z，则2xyzy的值是(A) A5 B103 C.103 D5 相似三角形的判定与性质 【例2】(茂名中考)如图，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t s0t103，连接MN. (1)如图，若BMN与ABC相似，求t的值； (2)如图，连接AN，CM，若ANCM，求t的值 【解析】(1)BMN与ABC相似，分两种情况：BMNBAC和BMNBCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MDBC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得CANDCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值 【答案】解：(1)由题意知BA628210(cm)，BM3t cm，CN2t cm， BN(82t)cm. 当BMNBAC时，有BMBABNBC， 3t1082t8，解得t2011； 当BMNBCA时，有BMBCBNBA， 3t882t10，解得t3223. 当B MN与ABC相似时，t的值为2011或3223； (2)如图，过点M作MDCB于点D. 由题意得BM3t cm，CN2t cm， DMBMs inB3t61095t(cm)， BDBMcosB3t810125t(cm)， CD8125tcm. ANCM，ACB90， CANACM90，MCDACM90， CANMCD. MDCB，MDCACB90， CANDCM.ACCDCNDM， 68125t2t95t，解得t1312.2如图，不等 长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA OCOBOD12，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(B) A甲、丙相似，乙、丁相似 B甲、丙相似，乙、丁不相似 C甲、丙不相似，乙、丁相似 D甲、丙不相似，乙、丁不相似 3(自贡中考)如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE12BC. 证明：D是AB的中点，E是AC的中点， ADAB12，AEAC12， ADABAEAC. 又AA，ADEABC. ADABDEBC12，ADEB， BC2DE，BCDE， 即DE12BC. 位似图形 【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC 与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B的坐标是(D) A(2，3) B(2，3) C(3，2)或(2，3) D(2，3)或(2，3) 【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OABC. 【答案】D 4(2016沧州八中二模)如图， OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，OCD90，COCD.若B(1，0)，则点C的坐标为(B) A(1，2) B(1，1) C(2，2) D(2，1)20 20