1、 第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定隐函数一、一个方程所确定隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定隐函数组二、方程组所确定隐函数组 及其导数及其导数隐函数求导方法 第1页本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.比如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页一、一个方程所确定隐函数及其导数一、一个方程所确定隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证实从略，仅就求导公式推导以下：含有连续偏导数;
2、某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第3页两边对 x 求导在某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页若F(x,y)二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续,由 定理1 可知,导隐函数 则在 x=0 某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第6页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数另一求法导数另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束 第8页定理定理2.若函数 某邻域内含有连续偏导数连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证实从略,仅就求导公式推导以下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页两边对 x 求偏导一样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页例例2.设解法解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第11页解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页例例3.设F(x,y)含有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定隐函数,则已知方程机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束 故第13页对方程两边求微分:解法解法2 微分法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页二、方程组所确定隐函数组及其导数二、方程组所确定隐函数组及其导数隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.由 F、G 偏导数组成行列式称为F、G 雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第15页定理定理3.3.某一邻域内含有连续偏设函数则方程组单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页定理证实略.仅推导偏导数公式以
5、下：(P34-P35)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 某邻域内公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式第18页一样可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设故有第20页例例5.5.设函数在点(u,v)某一1)证实函数组(x,y)某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 偏导数.在与点(u,v)对应点邻域内有连续偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且含有连续偏导数反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页式
6、两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数偏导数.第22页机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第23页机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第24页例例5应用应用:计算极坐标变换反变换导数.一样有所以因为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思索与练习思索与练习设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2
7、6页提醒提醒:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)，11第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y,d z 系数即可得第28页备用题备用题分别由以下两式确定:又函数有连续一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得所以第29页2.设是由方程和所确定函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得第31页
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