高等数学多元微分隐函数求导省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

v 二元方程确定一元隐函数二元方程确定一元隐函数v 方程组情形方程组情形第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 第五节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 隐函数求导公式隐函数求导公式v 三元方程确定二元隐函数三元方程确定二元隐函数第1页本节主题本节主题:1.1.方程方程在在什么条件什么条件下下能确定隐函数能确定隐函数?比如比如,方程方程当当 C 0 时时,不能确定隐函数不能确定隐函数;2.2.在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,处理隐函数求导数处理隐函数求导数问题问题.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由方程所确定函数称为由方程所确定函数称为隐函数隐函数.在一定条件下，在一定条件下，二元方程二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数；确定一元隐函数；三元方程三元方程F(x,y,z)=0 确定二元隐函数；确定二元隐函数；.第2页一、二元方程确定一元隐函数一、二元方程确定一元隐函数定理定理1.设函数设函数则则(1)(1)方程方程一个一个单值连续可导函数单值连续可导函数 y=f(x),隐函数求导公式隐函数求导公式定理证实从略，仅就求导公式推导以下：定理证实从略，仅就求导公式推导以下：1)1)有连续偏导数有连续偏导数;某邻域内某邻域内可唯一确定可唯一确定在在某邻域内满足某邻域内满足2)2)3)3)满足条件满足条件(2)(2)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页两边对两边对 x 求导求导在在某邻域内某邻域内则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页若若F(x,y)二阶偏导数也都连续二阶偏导数也都连续,求求隐函数二阶导数隐函数二阶导数:则可则可上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页例例1.1.验证方程验证方程在点在点(0,0)(0,0)某邻域内某邻域内可可确定一个确定一个单值连续可导隐函数单值连续可导隐函数解解 令令连续连续,由定理由定理1 1知知,1)1)确定一个单值可导确定一个单值可导隐函数隐函数 则则2)2)3)3)在在(0,0)某邻域内某邻域内,所给方程能唯一所给方程能唯一且且并计算并计算上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页两边对两边对 x 求导求导两边再对两边再对 x 求导求导令令 x=0,注意此时注意此时第二种算法第二种算法 利用隐函数求导法则利用隐函数求导法则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页定理定理2.2.若三元函数若三元函数 某邻域内有连续偏导数某邻域内有连续偏导数,则则 (1)方方程程在在(2)唯一确定一个单值连续且有连续偏导数函数唯一确定一个单值连续且有连续偏导数函数 z=f(x,y),定理证实从略定理证实从略,仅就求导公式推导以下仅就求导公式推导以下:满足满足1)在点在点满足满足2)3)某邻域内可某邻域内可上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、三元方程确定二元隐函数二、三元方程确定二元隐函数第9页两边对两边对 x 求偏导求偏导同理可得同理可得则则上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页例例2 2.设设解一解一 利用隐函数求导法则利用隐函数求导法则再对再对 x 求导求导上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页解二解二 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页例例3.3.设设F(x,y)有连续偏导数有连续偏导数,解一解一 利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.所确定隐函数所确定隐函数,则则已知方程已知方程故故上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页对方程对方程解二解二 微分法微分法.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两边求微分两边求微分:整理得整理得解得解得第14页三、方程组情形三、方程组情形隐函数存在定理还能够推广到方程组情形隐函数存在定理还能够推广到方程组情形.由函数由函数F、G 偏导数组成行列式偏导数组成行列式称为称为F、G 雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数情况为例：以两个方程确定两个隐函数情况为例：上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第15页定理定理3.3.某一邻域内含有连续偏某一邻域内含有连续偏设函数设函数则方程组则方程组3)3)单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式:1)1)在点在点2)2)某一邻域内可唯一确定一组满足条件某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:导数；导数；上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第16页书本书本P34-P35P34-P35参见二元参见二元线性方程线性方程组求解组求解公公式式上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第17页例例4.4.设设解解 现在现在求求以下计算以下计算(1)式两端分别对式两端分别对 x 求导，得求导，得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 式中式中 u=u(x,y),v=v(x,y)由方程由方程(1)所确定所确定.所以所以第18页所以所以(1)式式两边对两边对 y 求导求导,得得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以所以第19页内容小结内容小结1.1.隐函数存在定理隐函数存在定理2.2.隐函数求导方法隐函数求导方法方法方法1.1.套公式套公式;方法方法2.2.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法3.3.利用微分形式不变性利用微分形式不变性.思索与练习思索与练习设设求求上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页解一解一上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 确定隐函数确定隐函数第21页解二解二 利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性.作业作业 P52 30,31，33,35,36由由d x 系数可得系数可得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 等式等式两端微分，得两端微分，得类似可求得类似可求得第22页备用题备用题分别由以下两方程确定分别由以下两方程确定:又函数又函数有连续一阶偏导数有连续一阶偏导数,设设解解 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导,得得考研考研解得解得所以所以上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第23页