1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 主讲：王兴波教授主讲：王兴波教授佛山科学技术学院佛山科学技术学院 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件/10/101第1页参考用书参考用书复变函数与积分变换复变函数与积分变换,华中科技大学数学系华中科技大学数学系,高等教育出版社高等教育出版社,.6,.6 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大华中科大,高等教育出版社高等教育出版社 复变函数复变函数,西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社高等教育出版社,1996.5,1996.5 /10/102第2页 目目 录录第二章第二章 解析
2、函数解析函数第三章第三章 复变函数积分复变函数积分第四章第四章 解析函数级数表示解析函数级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数/10/103第3页 第二章 解析函数内容提要：解析函数是复变函数研究主要对象在理论和实际问题中有着广泛应用，本章在介绍复变函数导数概念和求导法则基础上，着重讲解析函数概念，判别方法及主要性质/10/104第4页 第二章 解析函数2.1 解析函数概念2.2 解析函数和调和函数关系2.3 初等函数本章小结v 思索题/10/105第5页第一节 解析函数概
3、念一、复变函数导数与微分一、复变函数导数与微分 1导数定义 /10/106第6页例1解：例2解：/10/107第7页2可导与连续关系 从例2从能够看出：结论：证实：由导数定义可知 /10/108第8页3求导法则 结论：因为复变函数中导数定义与一元实函数中导数在形式上完全相同，而且极限运算法则也一样，因而实函数中求导法则可推广到复变函数中去 /10/109第9页4微分概念 复变函数微分在形式上与一元实函数微分概念一样，所以类似有：证实：/10/1010第10页二、解析函数二、解析函数 在复变函数理论中，主要不是只在个别点可导函数，而是在区域D内内处处可导函数，即解析函数 1解析函数概念 注意：（
4、1）函数在区域内解析与在区域内可导是等价；（2）函数在一点处解析和可导是两个不等价概念，即在一 点处可导不一定在该点解析；/10/1011第11页例3解：所以在整个复平面处处解析所以在整个复平面处处不解析函数在复平面上处处不解析/10/1012第12页例4解：定理1：在区域D内解析函数和、差、积、商（除去分母为0点）在D内解析定理2：设函数定理3：任何有理分式函数/10/1013第13页2函数解析充分必要条件 定理1：证实：必要性/10/1014第14页且沿平行于实轴方向：沿平行于虚轴方向：/10/1015第15页充分性/10/1016第16页定理2：函数判别函数在区域解析惯用方法例1判定以下
5、函数在何处可导，在何处解析？解：/10/1017第17页这个函数特点：其导数是本身，今后看到这个函数就是复变函数中指数函数/10/1018第18页例2解：例3证实：/10/1019第19页/10/1020第20页第二节第二节 解析函数与调和函数关系解析函数与调和函数关系 平面静电场中电位函数、无源无旋平面流速场中势函数与流函数都是一个特殊二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着亲密关系下面给出调和函数定义 一、调和函数概念一、调和函数概念 定义1：(调和函数)/10/1021第21页定理1：设函数 证实：解析函数有任意阶导数，而且解析函数导数仍是解析函数./10/1022第22页二
6、共轭调和函数二、共轭调和函数 定义2：(共轭调和函数)定理2：复变函数 依据这个定理，能够利用一个调和函数和它共轭调和函数作出一个解析函数 三、解析函数与调和函数关系三、解析函数与调和函数关系 /10/1023第23页例1解：/10/1024第24页/10/1025第25页/10/1026第26页例2解：用不定积分法 凑x+iy形式/10/1027第27页例3解：为何与积分路径无关？/10/1028第28页作业习题二2.1(1)(2)2.2(1)(3)2.3(1)2.4(1)(2)2.72.82.9(1)（2）(3)2.10P52/10/1029第29页第三节第三节 初等函数初等函数 本节将
7、把实变函数中一些初等函数推广到复变函数中，研究它们性质，并讨论它们解析性 一、指数函数一、指数函数 1.定义：/10/1030第30页2性质：/10/1031第31页例1解：据指数定义，有 例2解：因为/10/1032第32页二、对数函数二、对数函数 与实变量函数一样，对数函数定义为指数函数反函数 1.定义：/10/1033第33页例3解：/10/1034第34页2性质：/10/1035第35页三乘幂与幂函数三乘幂与幂函数 定义1：有多少值呢？/10/1036第36页例2解：/10/1037第37页2幂函数定义2：/10/1038第38页四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数 1三角函数 两式相加与相减，分别得：（1）三角函数定义/10/1039第39页（2）性质（3）三角公式/10/1040第40页2双曲函数 性质：/10/1041第41页公式：/10/1042第42页五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数 1反三角函数/10/1043第43页2反双曲函数/10/1044第44页例3求以下方程解 解：/10/1045第45页 思索题/10/1046第46页作业习题二2.13(1)(2)(3)P532.14(1)(2)(3)(4)2.15(3)(6)2.16(1)2.18(1)(2)2.19/10/1047第47页
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