经济数学复习线性方程组省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 ESC 6.1 线性方程组消元解法线性方程组消元解法 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 6.1 线性方程组消元解法线性方程组消元解法 第1页 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 ESC 6.1 线性方程组消元解法线性方程组消元解法 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 6.1 线性方程组消元解法线性方程组消元解法 第2页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 若常数项若常数项 ,不全为零不全为零,则称此方程则称此方程组组为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组.非齐次线非齐次线 性方程组性方程组 第3页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 若常数项若常数项 ,全为零全为零,即即则称此方程组为齐次线性方程组则称此方程组为齐次线性方程组.齐次线性齐次线性 方程组方程组 第4页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 记记系数矩阵系数矩阵未知量矩阵未知量矩阵常数项矩阵常数项矩阵A X b 若若 bO,则非齐次线性方程组用矩阵可表示为则非齐次线性方程组用矩阵可表示为 AX=b.若若 bO,则齐次线性方程组用矩阵可表示为则齐次线性方程组用矩阵可表示为AX=O.第5页ESC增广矩阵增广矩阵A A b 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 第6页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 对于非齐次线性方程组对于非齐次线性方程组AX=b,bO.和和齐次线性方程组齐次线性方程组AX=O.要处理要处理以下以下三个问题三个问题(1)方程组是否有解方程组是否有解?(2)若有解若有解,是否是唯一解是否是唯一解?(3)怎样求方程组解怎样求方程组解?第7页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 案案 例例用消元法解以下非齐次线性方程组用消元法解以下非齐次线性方程组:消元法基本思想是把方程组中部分方程变成未知量较少消元法基本思想是把方程组中部分方程变成未知量较少 从而求出解从而求出解.也就是经过对方程组进行同解变形来实现也就是经过对方程组进行同解变形来实现.项进行变换项进行变换.分析分析 方程方程,而对方程组进行同解变形实际上就是对方程组系数和常数而对方程组进行同解变形实际上就是对方程组系数和常数 下面在用消元法解方程组时下面在用消元法解方程组时,对照观察线性方程组增广矩阵对照观察线性方程组增广矩阵.第8页ESC 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)方程组方程组增广矩增广矩阵阵 方程方程乘上数乘上数(-2)、(-1)加到方程加到方程和方程和方程上上,得得 A A A 分别将分别将 第第1行乘上数行乘上数(-2)、(-1)加到第加到第2行和第行和第3行上行上,得得A 第9页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)A 方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A 把方程把方程乘上乘上 ,得得ESC把上述矩阵第把上述矩阵第3行乘上行乘上 ,得得第10页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A 交换方程交换方程和方程和方程位位置置,得得交换上述矩阵第交换上述矩阵第2行和第行和第3行行,得得第11页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A 为消去方程为消去方程未知量未知量,将方将方程程乘上数乘上数3加到方程加到方程上上,得得 将上述矩阵第将上述矩阵第2行乘上数行乘上数3加到第加到第3行上行上,得得A 1 阶梯形阶梯形 方程组方程组 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 第12页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A A 1为求方程组解为求方程组解,将方程将方程乘上乘上 ,得得把上述矩阵第把上述矩阵第3行乘上行乘上 ,得得第13页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A 将上述矩阵第将上述矩阵第3行分别乘上数行分别乘上数2、(-1),加到第加到第2行和第行和第1行上行上,得得将将 代入前两个方程代入前两个方程,即将方程即将方程分别乘上数分别乘上数2、(-1)加到方程加到方程和方程和方程上上,得得第14页 解案例解案例(方程组与增广矩阵对照演示方程组与增广矩阵对照演示)ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵 A (完完)将将 代入前一个方程代入前一个方程,即将方程即将方程乘上数乘上数(-3)加加到方程到方程上上,得得将将上上述述矩矩阵阵第第2行行乘乘上上数数(-3)加到第加到第1行上行上,得得A 2 原方程原方程 组解组解 简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵 唯一解唯一解 第15页 用消元法求解线性方程组过程用消元法求解线性方程组过程对照对照 ESC方程组方程组增广矩增广矩阵阵(1)消元过程消元过程:经过对方程组系数和常数经过对方程组系数和常数项进行算术运算项进行算术运算,自上而下地自上而下地将各个方程所含未知量个数将各个方程所含未知量个数依次降低依次降低,最终把方程组化为最终把方程组化为阶梯形方程组；阶梯形方程组；(2)回代过程回代过程:由阶梯形由阶梯形方程组逐次求出各未知量方程组逐次求出各未知量.对应地对应地A (1)用矩阵初等行变换将用矩阵初等行变换将 化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵:阶梯形方程组相对应矩阶梯形方程组相对应矩阵阵 是阶梯形矩阵是阶梯形矩阵;A A 1(2)用矩阵初等行变换将矩阵用矩阵初等行变换将矩阵 化为简化阶梯形矩化为简化阶梯形矩:简化阶梯形矩阵给出了原方简化阶梯形矩阵给出了原方程组解程组解.A 1第16页ESC非齐次线性方程组求解过程与程序非齐次线性方程组求解过程与程序 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 若若r(A)=r()A r(A)r()A (1)经初等行变换将经初等行变换将 化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵 ;A A 1(2)继续化继续化 为简化阶梯为简化阶梯 形矩阵形矩阵 ;A 1A 2非齐次线性非齐次线性方程组无解方程组无解,解题结束解题结束.(3)写出简化阶写出简化阶 梯形矩阵梯形矩阵 对应线性方对应线性方程组程组.A 2由简化阶梯形矩阵由简化阶梯形矩阵 给出原方程组解给出原方程组解.A 2第17页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 解线性方程组解线性方程组:例例1 1(1)将将线线性方程性方程组组增广增广 解解 A 矩矩阵阵 化化为阶为阶梯梯 形矩形矩阵阵.A 第18页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 例例1 1(1)将将线线性方程性方程组组增广增广 续解续解 A 矩矩阵阵 化化为阶为阶梯梯 形矩形矩阵阵.A 阶梯形阶梯形矩阵矩阵A 1与与 对应方程组为对应方程组为 A 10=0.第19页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 例例1 1续解续解 (2)继续继续将将阶阶梯形矩梯形矩阵阵 化化为简为简化化阶阶梯形矩梯形矩阵阵.A 1A 1A 2简化阶梯简化阶梯 形矩阵形矩阵第20页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 例例1 1续解续解 A 1A 2(3)写出写出 与与 对应方程组对应方程组 A 2简化阶梯简化阶梯 形矩阵形矩阵该方程组可写成该方程组可写成 第21页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 (完完)例例1 1续解续解 该方程组可写成该方程组可写成 若取若取则原方程组解是则原方程组解是(3)写出写出 与与 对应方程组对应方程组 A 2,求出原方程组解求出原方程组解.其中其中 为任意常数为任意常数.原方程组有原方程组有 无穷多组解无穷多组解 线性方程组线性方程组普通解普通解第22页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 解线性方程组解线性方程组:例例2 2解解 A 并对其施行初等行变换并对其施行初等行变换,化为化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵.(1)写出方程组增广矩阵写出方程组增广矩阵 ,A 第23页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 (完完)例例2 2续解续解 A 并对其施行初等行并对其施行初等行(1)写出方程组增广矩阵写出方程组增广矩阵 ,A 变换变换,化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵.A 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 A 1与与 对应方程组为对应方程组为 A 1矛盾方程矛盾方程 原方程组原方程组 无解无解第24页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 以上我们利用消元法解了三个线性方程组以上我们利用消元法解了三个线性方程组.其求解过程可由其求解过程可由方程组增广矩阵方程组增广矩阵 进行初等行变换得到进行初等行变换得到.A 观观察察线线性方程性方程组组系数矩系数矩阵阵A秩秩r(A)、增广矩、增广矩阵阵秩秩r():A 案例中案例中:A A A r(A)=r()=3=未知量个数未知量个数,A 原方程组原方程组 有唯一解有唯一解 第25页ESC 一一.非齐次线性方程组消元解法非齐次线性方程组消元解法 A A A r(A)=r()=2未知量个数未知量个数4 4,A 例例1 1中中:原方程组有原方程组有 无穷多组解无穷多组解 A A A 例例2 2中中:r(A)=2r()=3,A 原方程组原方程组 无解无解第26页ESC 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 非齐次线非齐次线 性方程组性方程组 或用矩阵表示或用矩阵表示AX=b.有解有解r(A)=r()=r.A 这时这时,自由未知量个数自由未知量个数为为n-r.(1)当当r=n(未知量个数未知量个数)时时,有唯一解有唯一解;(2)当当rn时时,有没有穷多解有没有穷多解,定理定理 6.1第27页ESC方程组方程组:例例3 3解解 A 并对其施行初等并对其施行初等增广矩阵增广矩阵 ,A 写出方程组写出方程组 行变换行变换.解线性解线性 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 第28页ESC(未完待续未完待续)例例3 3续解续解 A 并对其施行初等并对其施行初等增广矩阵增广矩阵 ,A 写出方程组写出方程组行变换行变换.二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 第29页ESC例例3 3续解续解 A 并对其施行初等并对其施行初等增广矩阵增广矩阵 ,A 写出方程组写出方程组行变换行变换.阶梯形阶梯形矩阵矩阵A 1由阶梯形矩阵由阶梯形矩阵 知知,A 1r(A)=r()=3未知量个数未知量个数5,A 原方程组有原方程组有 无穷多组解无穷多组解 自由未知量个数为自由未知量个数为53=2.二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 第30页ESC例例3 3续解续解 并对其施行初等并对其施行初等增广矩阵增广矩阵 ,A 写出方程组写出方程组行变换行变换.A 1简化阶梯简化阶梯形矩阵形矩阵A 2 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 第31页ESC(完完)例例3 3续解续解 简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵A 2A 1A 2与与 对应方程组对应方程组 A 2若取若取则方程组普通解为则方程组普通解为 其中其中 为任意常数为任意常数.二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 原方程组原方程组有没有穷多有没有穷多 组解组解 第32页ESC方程组方程组:例例4 4解解(1)A 已知线性已知线性 (2)当方程当方程组组有解有解时时,求出它求出它求求(1)为为何何值时值时方程方程组组有解有解?为为何何?普通解普通解.施行初等行变换施行初等行变换.增广矩阵增广矩阵 对线性方程组对线性方程组 A 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 第33页ESC例例4 4A 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 续解续解(1)方程方程组组有解有解.当当即即时时,有有 r(A)=r(),A r(A)=2,r()=2,A 此时此时(2)当当时时,A 简化阶梯简化阶梯形矩阵形矩阵第34页ESC(完完)例例4 4A 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 续解续解(2)r(A)=r()=23,A 所以原线性方程组有没有穷多解所以原线性方程组有没有穷多解,且含且含1个自由未知量个自由未知量.因为因为 若取若取 则则方程方程组组普通解普通解为为:其中其中 为任意常数为任意常数.方程组方程组有没有穷多有没有穷多 组解组解 第35页ESC 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 齐次线齐次线 性方程组性方程组 用矩阵表示用矩阵表示AX=O.一定有零解一定有零解这时这时,自由未知量个数自由未知量个数为为n-r(A).(1)当当r(A)=n(未知量个数未知量个数)时时,仅有零解仅有零解;(2)当当r(A)n时时,有非零解有非零解,定理定理 6.1推论推论由此可知由此可知,当方程个数当方程个数m小于未知量个数小于未知量个数n 时时,方程组一定有非零方程组一定有非零.第36页ESC 齐次线性方程组求解过程与程序齐次线性方程组求解过程与程序若若r(A)n r(A)=n齐次线性方齐次线性方程组仅有零程组仅有零解解,解题结束解题结束.二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 (1)经初等行变换将经初等行变换将 化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵 ;A A 1(2)继续化继续化 为简化阶梯为简化阶梯 形矩阵形矩阵 ;A 1A 2(3)写出简化阶写出简化阶 梯形矩阵梯形矩阵 对应线性方对应线性方程组程组.A 2由简化阶梯形矩阵由简化阶梯形矩阵 给给出原方程组无穷多解出原方程组无穷多解.A 2第37页ESC方程组方程组:例例5 5解解 解线性解线性 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 所以方程组一定有非零解所以方程组一定有非零解.因为方程组中方程个数因为方程组中方程个数3小于未知量个数小于未知量个数4,A 第38页ESC(未完待续未完待续)例例5 5续解续解 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 A 简化阶梯简化阶梯形矩阵形矩阵第39页ESC例例5 5续解续解 二二.线性方程组解判定线性方程组解判定 A 由上述简化阶梯形矩阵知由上述简化阶梯形矩阵知,简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵若取若取则则方程方程组组普通解普通解为为 其中其中 为任意常数为任意常数.原方程组原方程组有没有穷多有没有穷多 组解组解 第40页ESC 内容小结内容小结 一、齐次线性方程组与非齐次线性方程组一、齐次线性方程组与非齐次线性方程组设含有设含有个未知量、有个未知量、有个方程式组成个方程式组成方程组方程组（6.1.1)6.1.1)第41页ESC 内容小结内容小结 其中系数，常数其中系数，常数 都是已知数，都是已知数，是未知是未知量量(也称为未知数也称为未知数)当右端常数项当右端常数项，不全为不全为0 0时，称方程组（时，称方程组（6.1.1)6.1.1)为为非齐次非齐次线性方程组线性方程组；当；当 时时（6.1.2)6.1.2)称方程组（称方程组（6.1.2)6.1.2)为为齐次线性方程组齐次线性方程组；第42页ESC 内容小结内容小结 二、消元法二、消元法(高斯消元法高斯消元法)用消元法解线性方程组（或用消元法解线性方程组（或）详细步骤为：）详细步骤为：首先写出增广矩阵首先写出增广矩阵 （或（或 ）(或系或系 数矩阵数矩阵 )，并用初等行变换将其化成阶梯形矩，并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；然后判断方程组是否有解；在有解情况下，阵；然后判断方程组是否有解；在有解情况下，继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组普通解形矩阵，再写出方程组普通解A 第43页ESC 内容小结内容小结 三、线性方程组解判定三、线性方程组解判定设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 第44页ESC 内容小结内容小结 有解有解r(A)=r()=r.A (1)当当r=n(未知量个数未知量个数)时时,有唯一解有唯一解;(2)当当rn时时,有没有穷多有没有穷多解解,这时这时,自由未知量个数自由未知量个数为为n-r.第45页ESC 内容小结内容小结 设含有设含有 n 个未知数个未知数 m 个方程线性方程组个方程线性方程组 一定有零解一定有零解第46页ESC 内容小结内容小结 (1)当当r(A)=n(未知量个数未知量个数)时时,仅有零解仅有零解;(2)当当r(A)n时时,有非零有非零解解,这时这时,自由未知量个数自由未知量个数为为n-r(A).由此可知由此可知,当方程个数当方程个数m小于未知量个数小于未知量个数n 时时,方程组一定有非零方程组一定有非零.第47页ESC课堂练习课堂练习1 1、解线性方程组解线性方程组，(6.1.3)(6.1.3)，第48页ESC课堂练习课堂练习解解先写出增广矩阵先写出增广矩阵 ，再用初等，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即第49页ESC课堂练习课堂练习(-1)(-1)22(-3)(-3)(-1)(-1)第50页ESC课堂练习课堂练习最终一个增广矩阵表示线性方程组为最终一个增广矩阵表示线性方程组为，第51页ESC课堂练习课堂练习将最终一个方程乘，再将项移至等将最终一个方程乘，再将项移至等号右端，得号右端，得，将其代入第二个方程，解得将其代入第二个方程，解得，再将，代入第一个方程，解得再将，代入第一个方程，解得第52页ESC课堂练习课堂练习所以，方程组所以，方程组(6.1.4)(6.1.4)解为解为，其中能够任意取值其中能够任意取值(6.1.5)(6.1.5)假如将表示式假如将表示式(6.1.5)(6.1.5)中自由未知量中自由未知量 取一任意常数，即令取一任意常数，即令 ，那么方程，那么方程组组(6.1.4)(6.1.4)普通解为普通解为第53页ESC课堂练习课堂练习，其中为任意常数其中为任意常数比如，对比如，对1 1题中阶梯形矩阵深入化简，即题中阶梯形矩阵深入化简，即22第54页ESC课堂练习课堂练习(-1)(-1)上述矩阵对应方程组为上述矩阵对应方程组为，第55页ESC课堂练习课堂练习将此方程组中含项移到等号右端，就将此方程组中含项移到等号右端，就得到原方程组得到原方程组(6.1.4)(6.1.4)普通解，即普通解，即，其中是自由未知量其中是自由未知量第56页ESC课堂练习课堂练习2 2、解线性方程组解线性方程组，第57页ESC课堂练习课堂练习解解第58页ESC课堂练习课堂练习所以，方程组普通解为所以，方程组普通解为，第59页ESC课堂练习课堂练习2 2、解线性方程组解线性方程组，解解因为因为第60页ESC课堂练习课堂练习阶梯形矩阵第三行阶梯形矩阵第三行“，”所表所表示方程为：，由该方程可示方程为：，由该方程可知，不论，取何值，都不能满足这知，不论，取何值，都不能满足这个方程所以，原方程组无解个方程所以，原方程组无解第61页ESC课堂练习课堂练习4 4、解线性方程组解线性方程组，第62页ESC课堂练习课堂练习第63页ESC课堂练习课堂练习，所以，方程组普通解为其所以，方程组普通解为其中，是自由未知量中，是自由未知量第64页ESC课堂练习课堂练习5 5、判别以下方程组是否有解？若有解，、判别以下方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有没有穷多解？是有唯一解还是有没有穷多解？(1)(1)，；第65页ESC课堂练习课堂练习(2)(2)，；(3)(3)，第66页ESC课堂练习课堂练习解解(1)(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即梯形矩阵，即第67页ESC课堂练习课堂练习.因为，二者不等，因为，二者不等，所以方程组无解所以方程组无解第68页ESC课堂练习课堂练习(2)(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即矩阵，即第69页ESC课堂练习课堂练习因为因为 ，所以方程，所以方程组有没有穷多解组有没有穷多解(3)(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即矩阵，即第70页ESC课堂练习课堂练习因为，所以方程组有因为，所以方程组有唯一解唯一解第71页ESC课堂练习课堂练习6 6、判别以下齐次方程组是否有非零解？判别以下齐次方程组是否有非零解？，第72页ESC课堂练习课堂练习解解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即阵，即第73页ESC课堂练习课堂练习因为因为 ，所以齐次方程组只有，所以齐次方程组只有零解零解第74页ESC课堂练习课堂练习7 7、问，取何值时，以下方程组无问，取何值时，以下方程组无解？有唯一解？有没有穷多解？解？有唯一解？有没有穷多解？，第75页ESC课堂练习课堂练习解解由由第76页ESC课堂练习课堂练习当而时，当而时，故方程组无解；，故方程组无解；当时，故方程组当时，故方程组有唯一解；有唯一解；当而时，当而时，故方程组有没有穷多解故方程组有没有穷多解第77页ESC课堂练习课堂练习8 8、已知总成本是产量二次函数已知总成本是产量二次函数依据统计资料，产量与总成本之间有如表依据统计资料，产量与总成本之间有如表9-19-1所所表示数据试求总成本函数中表示数据试求总成本函数中 ，表表6-16-1某厂某阶段产量与总成本统计表某厂某阶段产量与总成本统计表时期时期产量产量(千台千台)总成本总成本(万元万元)第第1 1期期第第2 2期期第第3 3期期6 610410410101601602020370370第78页ESC课堂练习课堂练习解解将，代入已知二将，代入已知二次函数模型中，得方程组次函数模型中，得方程组，利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解即阶梯形矩阵，再求解即第79页ESC课堂练习课堂练习第80页ESC课堂练习课堂练习方程组解为：，所以方程组解为：，所以总成本函数为总成本函数为第81页ESC9、解线性方程组、解线性方程组课堂练习课堂练习第82页ESC线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理定理定理6.1(6.1(线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理)线线性方程组性方程组(6.1.1)(6.1.1)有解充分必要条件是其系数有解充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵秩相等即矩阵与增广矩阵秩相等即推论推论1 1线性方程组线性方程组(6.1.1)(6.1.1)有唯一解充分有唯一解充分必要条件是必要条件是第83页ESC布置作业布置作业推论推论2 2线性方程组线性方程组(6.1.1)(6.1.1)有没有穷多有没有穷多解充分必要条件是解充分必要条件是推论推论3 3齐次线性方程组齐次线性方程组(6.1.2)(6.1.2)只有零解只有零解充分必要条件是充分必要条件是推论推论4 4齐次线性方程组齐次线性方程组(6.1.2)(6.1.2)有非零充有非零充分必要条件是分必要条件是线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理第84页ESC尤其地，当齐次线性方程组尤其地，当齐次线性方程组(6.1.2)(6.1.2)中，中，方程个数少于未知量个数方程个数少于未知量个数 时，必有时，必有这时方程这时方程(6.1.2)(6.1.2)一定有非零解一定有非零解.线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理第85页