关于测定转动惯量的几个实验及其分析--学位论文.doc

本科毕业论文（设计）

题　　目 关于测定转动惯量的几个实验设计及其分析

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关于测定转动惯量的几个实验设计及其分析

摘要：关于测定转动惯量的实验方案，实验室常用动力法，利用转动定理，通过对刚体转动时所受力矩和角加速度的测量求得待测转动惯量。实验室测刚体转动惯量用到的核心仪器有，带小滑轮的转动惯量仪、自动计数仪。其中转动惯量仪转动系统的转动惯量已知。在实验中，小滑轮的转动惯量和缠绕系统转轴并连接砝码的细绳质量是没有单独考虑的。另外，转轴和支架之间、转动系统和空气之间、小滑轮和转轴之间存在一定摩擦。造成实验结果比真实值偏大的主要因素有两个方面，一是小滑轮的转动惯量和绳的质量不计入实验，二是由于系统摩擦造成系统角加速度没有考虑。只要我们设法测量这两个影响实验结果的因素，把它们计入实验，就能很大程度减小实验误差。我们也可以用振动法测刚体转动惯量。三线摆法属于振动法测质量均匀、形状规则物体定轴转动惯量的一种简单易行方法，缺点是实验简单粗糙，误差较大。它是利用三线摆下盘做角谐振动机械能守恒原理，导出角谐振动盘转动惯量表达式，在加上待测物体时，让盘和物体在三线摆下做角谐振动并测量相关参数值，方可求得待测转动惯量值。
关键词：定轴转动；转动惯量；转动动能；实验误差；误差分析

Some designs and analysis of the
experiments to measure the moment of inertia

Abstract : Experiment scheme about measuring moment of inertia, the laboratory commonly used dynamic method, using the rotation theorem, based on the rigid body rotation when the measurement of torque and angular acceleration is obtained for measuring moment of inertia. Laboratory core instrument used to measure moment of inertia of rigid body, with small pulley of the moment of inertia instrument, automatic counting device. The moment of inertia instrument the rotational inertia of the rotating system is known. In the experiments, the rotational inertia of the small pulley and rotor winding system and connection weights of cord quality is not considered separately. In addition, the shaft and support between, between rotation system and air, there is friction between small pulley and shaft. Experiment result is larger than real value of the main factors have two aspects, one is the rotational inertia of the small pulleys and ropes are not included in the quality of the experiment, the second is system due to system friction Angle acceleration does not take into account. As long as we try to measure the two factors that influence the experiment result them included in the experiment, can greatly reduce the experiment error. In view of the laboratory commonly used dynamic method, we can also be used to measure moment of inertia of rigid body vibration. Three wire pendulum method belongs to the vibration method to measure the quality and rules object shape moment of inertia of axis of a simple method, the disadvantage is that the experiment simple rough, the error is bigger. It is the use of three wire pendulum Angle of footwall do harmonic oscillation principle of conservation of mechanical energy, angular harmonic oscillation derived expression of disc inertia, plus when the object under test, make plate and object under three wire pendulum Angle of periodic vibration and measuring the related parameter values, values shall be obtained for measuring moment of inertia.

Key words : rotational of constant axis ; rotational inertia ; rotational kinetic energy ; experiment error ; error analsis

目 录
一．正文：
1实验理论基础 1
1.1 刚体对一定转轴的转动惯量 1
1.2 刚体定轴转动的转动定理 2
1.3 刚体定轴转动的动能定理 2
2 实验室刚体转动惯量的测量方案 3
2.1 实验分析 3
2.2 实验器材 3
2.2.1 转动惯量测试仪 3
2.2.2 自动计数仪 3
2.3 设计思路 4
3 实验室刚体转动惯量测量方案误差分析 5
3.1 实验误差分析 5
3.1.1 由于滑轮和绳造成的实验误差 5
3.1.2 由于系统摩擦造成的实验误差 5
3.2 实验改进方法分析 6
4 改进后的实验方案 7
4.1 实验器材 7
4.2 设计思路 7
4.3 改进后实验误差减小的验证方法 8
5 三线摆法测量刚体转动惯量实验方案 9
5.1 实验分析 9
5.1.1 实验介绍 9
5.1.2 三线摆下盘做角谐振动的推证 9
5.2 实验过程 10
5.2.1 测定圆环绕中心轴的转动惯量I 10
5.2.2 测定圆柱体绕中心轴的转动惯量I 11
5.3 误差分析 11
5.3.1 的影响 11
5.3.2 引起的误差引起的误差 12
6 小结 12
参考文献 14
谢辞 15
二．附录：
1.开题报告 16
2.结题报告 17
3.答辩报告 18

1 实验理论基础
1.1 刚体对一定转轴的转动惯量
刚体定轴转动时对转轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。设图1中轴即刚体转轴，质点系对z 轴角动量写作
(1.1.1)
等号右方括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和。显然，它决定于刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，叫作刚体对定轴z的转动惯量[1]，用表示

(1.1.2)

图1
若刚体质量连续分布，为了精确地表示转动惯量，将上式中质元质量改为质量微分，将求和变为积分，得
(1.1.3)
积分遍及刚体全部体积[2]。用表示刚体密度，用表示体积微分，则，代入上式，即
(1.1.4)
若刚体是均质的，则
(1.1.5)
密度均匀厚度为半径为的圆盘，对过圆心且与圆面垂直的转轴的转动惯量为
(1.1.6)
转动惯量的单位由质量与长度的单位决定，在国际单位制中为量纲为。
1.2 刚体定轴转动的转动定理
根据质点系对轴的角动量定理
(1.2.1)
将乘等号左右两端，得
(1.2.2)
式中称为作用于刚体第个外力矩的冲量矩。式(1.2.2)意为刚体对轴角动量的增加等于对该轴外力矩冲量的代数和。
刚体对一定轴线的转动惯量为常量，故式(1.2.1)又可写作
(1.2.3)
表明刚体绕固定轴转动时，刚体对该转动轴线的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于外力对此转动轴线的合力矩，叫作刚体定轴转动的转动定理。
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将刚体视作不变质点系，所有质元做圆周运动的动能之和即刚体转动的动能。设质元质量为，速率为，质元动能为
(1.3.1)
将此式对一切质元求和，即得刚体的总转动动能为
(1.3.2)
又速率，代入(1.3.2)得
(1.3.3)
故刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对于此轴的转动惯量与角速度平方乘积之半[3]。
由于刚体内一切内力做功之和总等于零，则刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和，即
(1.3.4)
2 实验室刚体转动惯量的测量方案
2.1 实验分析
对于质量分布均匀、几何形状简单的刚体，可以由公式准确计算其转动惯量。但是在大多数情况下计算转动惯量是困难的，这种情况下一般要用实验来检测。实验室通常用动力法，是利用转动定律，通过对刚体转动时所受力矩和角加速度的测量求得转动惯量。
2.2 实验器材
转动惯量测试仪、自动计数仪、砝码、细绳、待测样品
2.2.1 转动惯量测试仪
转动惯量实验仪如图2，转动体系由承物台、绕线塔轮、光电门、遮光杆、小滑轮等组成。承物台可以绕定轴转动，遮光杆随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径r的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。
图2
2.2.2 自动计数仪
HMS-2型自动计数仪是一种单片机控制的自动计数仪，如图3可以记录、存储并显示转动角为π、2π、3π、……、99π的时间值。操作步骤如下:
开机数秒后显示选项菜单,用上移和下移键选择“刚体转动惯量测定”项,按“进入”键进入测量菜单,按“启动”键后开始计时；随着转盘的转动，显示各转动角度对应的计时值；按“停止”键后，可通过按上移和下移键显示全部计时值。再按“启动”键则进入新一轮测量。
用自动计数仪计时，在承放刚体的转盘径向装有一对挡光杆。当挡杆随转盘转动首次通过光电门挡住光束，开始计时。转盘每转动半周挡一次光电门，毫秒计就计时一次,其中第次计数时对应的转动角度为。

图3
2.3 设计思路
刚体定轴转动时所受的力矩正比于转动角加速度，这就是转动定律，由公式表示成
(2.3.1)
式中为待测物品转动惯量，为已知仪器系统的转动惯量。
刚体放在转动架上，可以绕定轴转动。半径为的塔轮上缠绕着细线，绳子另一端挂着质量为的砝码，经滑轮后下垂。在重力作用下，刚体受到外力矩的作用。根据转动定律
(2.3.2)
以砝码为研究对象，根据牛顿第二定律，有
(2.3.3)
轮轴边缘的线加速度
(2.3.4)
联立式(2.3.2)、(2.3.3)、(2.3.4)求出，即得待测转动惯量为
(2.3.5)
根据式（2.3.5），只要测出角加速度，即可求出待测转动惯量。
转动系统在重力矩作用下转动过程中，测量角位移为的时刻和角位移为的时刻，则
(2.3.6)
(2.3.7)
联立式(2.3.6)、(2.3.7)消去，得
(2.3.8)
代入式(2.3.5)，可以求出待测转动惯量。
3 实验室刚体转动惯量测量方案误差分析
3.1 实验误差分析
3.1.1 由于滑轮和绳造成的实验误差
在以上实验中，滑轮的转动惯量和绳的质量是不计的，在实验过程中滑轮的转动也是具有转动惯量的，滑轮转动所造成的能量消耗是没有考虑的。由于绳运动状态改变所消耗的能量也没有计入。
所以滑轮的转动、绳的运动状态改变所消耗的能量必然对实验造成误差。
设绳质量为，滑轮转动惯量为并考虑到以上实验中，则
(3.1.1)
(3.1.2)
联立式(3.1.1)、(3.1.2)解出I，得待测转动惯量为
(3.1.3)
可以看出，由于和不计入，造成测得值比实际值大。
3.1.2 由于系统摩擦造成的实验误差
在以上实验中，转轴和支架之间、转动系统和空气之间、滑轮和转轴之间存在一定摩擦，必然对实验结果造成误差。
设由于各种摩擦共同对转动系统造成的角加速度为，计入实验，则
(3.1.4)
(3.1.5)
联立式(3.1.4)、(3.1.5)解出I，得待测转动惯量为
(3.1.6)
可以看出，由于的不计入，造成测得值比实际值大。
3.2 实验改进方法分析
根据以上实验误差分析，造成实验结果比真实值偏大的因素主要有两个方面：一个是滑轮的转动惯量和绳的质量是不计入的，二是由于系统摩擦而造成系统的角加速度没有考虑。
只要我们设法测量这两个影响实验结果的因素，把它们计入实验，然后就能很大程度减小实验误差。
对于由于绳的质量引起的误差，我们根据式(3.1.6)可以看出，只要测得绳的质量，就可以减小实验误差。
对于系统摩擦力造成的误差我们可以去掉砝码，设法给转动系统一个大小为初始角速度，让它在阻力矩下转动，测得角位移为和对应的时刻和，得到
(3.2.1)
对于滑轮具有转动惯量造成的实验误差，我们可以取下待测样品，挂上砝码时测量角位移为的时刻和角位移为的时刻，则
(3.2.2)
(3.2.3)
去掉砝码，设法给转动系统一个大小为初始角速度，让系统空载状态在阻力矩下转动，测得角位移为和对应的时刻和，得到
(3.2.4)
4 改进后的实验方案
4.1 实验器材
转动惯量测试仪、自动计数仪、砝码、完全相同的柔性细绳若干、待测样品、物理天平
4.2 设计思路
在缠绕细线之前，先用物理天平测出条相同细线质量为，求出单条细线质量，然后再缠绕细线。
由转动定律
(4.2.1)
中为待测物品转动惯量，为已知仪器系统的转动惯量，为滑轮的转动惯量，为系统摩擦而造成系统的角加速度。
半径为的塔轮上缠绕着细线，绳子另一端挂着质量为的砝码，经滑轮后下垂。在重力作用下，刚体受到外力矩的作用。根据转动定律
(4.2.2)
以砝码为研究对象，根据牛顿第二定律，有
(4.2.3)
轮轴边缘的线加速度
(4.2.4)
联立方程(4.2.2)、(4.2.3)、(4.2.4)解出I，即得待测转动惯量为
(4.2.5)
根据式(4.2.5)，只要测出角加速度，系统摩擦对转动系统造成的角加速度为，滑轮的转动惯量，即可求出待测转动惯量。
我们在刚体由于重力矩作用下转动，测量角位移为的时刻和角位移为的时刻，则
(4.2.6)
去掉砝码，设法给转动系统一个大小为初始角速度，让它在阻力矩下转动，测得角位移为和对应的时刻和，得到
(4.2.7)
取下待测样品，挂上砝码时测量角位移为的时刻和角位移为的时刻，则
(4.2.8)
(4.2.9)
去掉砝码，设法给转动系统一个大小为初始角速度，让系统空载状态在阻力矩下转动，测得角位移为和对应的时刻和，得到
(4.2.10)
联立式(4.2.8)、(4.2.9)、(4.2.10)可以解出。
综上，角加速度、系统摩擦对转动系统造成的角加速度为、滑轮转动惯量都已求得，代入式(4.2.5)，求得待测转动惯量。
4.3 改进后实验误差减小的验证方法
从以上理论分析上可知，改进后的实验由于考虑到了造成实验误差的两个主要因素，而使实验测得值更接近真实值，我们可以用以下方法验证：
用原实验方案和改进后的实验方案分别测密度均匀质量为半径为的圆盘，对过圆心且与圆面垂直转轴的转动惯量，分别记录两个方案的测量数据和。
通过数学方法计算得圆盘转动惯量真实值为
(4.3.1)
比较修改前和修改后的两个方案的测量值，发现测量值和均偏大，但改进后实验方案测得的更接近，从而验证了改进后的方案误差更小，更准确。
5 三线摆法测量刚体转动惯量实验方案
5.1 实验分析
5.1.1 实验介绍
三线摆法属于振动法测刚体转动惯量，是测转动惯量的一种简单易行的方法。如图4所示，有一均匀圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角行的三个顶点引出三条悬线对称地连接在置于上部的一个水平小圆盘的下面，小圆盘可以绕自身的垂直轴转动。当均匀圆盘（以下简称悬盘）三条悬线等长时，轻轻转动上部小圆盘，由于悬线的张力作用，悬盘即绕上下圆盘的中心连线轴周期地反复扭转运动。当悬盘离开平衡位置转过某个小角度时，整个悬盘的位置也随之升高。忽略摩擦力的影响，可知，悬盘扭转运动过程中机械能守恒
(5.1.1)
式中是悬盘的质量，是转动惯量。对应于某时刻悬盘的重力势能（取悬盘在平衡位置时重力势能为零），对应于悬盘绕中心轴的转动的动能，对应于悬盘作上下升降运动时的平动动能。
5.1.2 三线摆下盘做角谐振动的推证
在悬线足够长，且悬盘作小角度转动时，远小于可以忽略，将式(5.1.1)对时间求导，则有

图4
(5.1.2)
当扭摆达到最大振幅时，在很小的情况下，有
(5.1.3)
(5.1.4)
联立式(5.1.2)、(5.1.3)、(5.1.4)，可得
(5.1.5)
显然式(5.1.5)是一个简谐运动方程，其解为
(5.1.6)
式中为悬盘转动的角频率，为角振幅。因为转动周期，于是有
(5.1.7)
这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式[4]。
5.2 实验过程
5.2.1 测定圆环绕中心轴的转动惯量I
把质量为的圆环放在悬盘上，使两者中心轴重合，组成一个系统。测得它们绕中心轴转动的周期为，则它们总的转动惯量为
(5.2.1)
得圆环绕中心轴的转动惯量为
(5.2.2)
圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为
(5.2.3)
式中、分别为圆环外、内半径。
5.2.2 测定圆柱体绕中心轴的转动惯量I
将两个质量均为、半径为、形状相同的圆柱体对称地放置在悬盘上，柱体中心离悬盘中心的距离为，按上法测得两圆柱体和悬盘绕中心轴的转动周期为，则两圆柱体绕中心轴的转动惯量为：
(5.2.4)
根据转动惯量的平行轴定理，圆柱体绕中心轴的转动惯量的理论计算公式为：
(5.2.5)
5.3 误差分析
5.3.1 的影响
这种情况下圆盘上升高度
(5.31)
通过分析误差
(5.3.2)
可以看出越大时, 近似的误差越大。须注意, 当转角超过时,由此带来的误差达到0.04 %以上。
5.3.2 引起的误差
在转动惯量的推导中,为简化计算,取,但是会带来误差,原因是当圆盘做角谐振动时，圆盘围绕转轴转动时会引起圆盘在竖直方向上有平动动能，而且随着角度的增大而增大,当转角超过时, 由此带来的误差达到0.2 %以上。
(5.3.3)
减小误差的方法是让细线的长度尽可能长一点，同时减小圆盘做角谐振动的转角。
6 小结
刚体转动惯量的测量主要有两种方法即动力法和振动法。实验室用转动惯量仪测刚体转动惯量为动力法，三线摆法测刚体转动惯量为振动法，是一种简单易行的方法。现对以上实验做以下简析。
经过改进的实验室用转动惯量仪测刚体转动惯量实验方案由于考虑到了造成实验误差的两个主要因素，而使实验测得I值更接近真实值。其测量范围为任何形状刚体对定轴的转动惯量。
三线摆法测刚体转动惯量是一种简单易行的实验方案，实验存在误差由于诸多造成实验误差的因素没有考虑和彻底性的改进，所以较实验室用转动惯量仪测刚体转动惯量误差大。其测量范围为几何形状规则、具有对称性、密度均匀、知道通过质心转轴的刚体。
通过以上实验方案可以看出，实验室用转动惯量仪测刚体转动惯量优点是测量范围大，测量值更接近真实值；缺点是对测量者操作要求较高，测量过程复杂。三线摆法测刚体转动惯量优点是测量过程简单易行；缺点是测量范围小，对待测刚体要求苛刻，测量误差较实验室用转动惯量仪测刚体转动惯量大。
[参考文献]

[1] 漆安慎.《力学》.第二版.高等教育出版社. 漆安慎,杜婵英.2005年6月.222页.
[2] 漆安慎.《力学》.第二版.高等教育出版社. 漆安慎,杜婵英.2005年6月.223页.
[3] 漆安慎.《力学》.第二版.高等教育出版社. 漆安慎,杜婵英.2005年6月.232页.
[4] 钱 锋.《大学物理实验修订版》. 第2版.高等教育出版社. 钱锋,潘人培.2005年11月. 51-56页.
谢  辞

论文完成之际，也就是将要离开校园的时候。大学四载，一朝挥别，昔事今忆，欲诉忘言。
首先要对袁老师表示感谢，袁老师学养深厚，在指导过程中尽职尽责，对论文的选题、框架、范围给予我宝贵的指点，对力学中刚体这一部分知识给予我传授和指导，使我最后完成了论文思路的成熟和体例的成型。
感谢四年以来我所有的授课老师，我每一次的进步，每一点的收获都要得益于老师的知识积累和辛勤授课。
学院领导和学生工作老师为我的生活和学习做了细致周详的安排，使我能够有一个安定的环境中完成学业，感谢他们的出色工作。
感谢我亲爱的同学们，特别是一直陪我四年的舍友，感谢他们对我的关怀和宽容，大学四年的生活是我渡过最难忘的时光，也将成为我人生最宝贵的记忆。
感谢在宝文理做过学术讲座的学界前辈，你们让我感受到了一个学者最动人的激情，最悲悯的关怀，最执着的追求。
感谢大学中的同乡，远离故土，你们就是我的亲人，我们组成了另一个亲情浓郁的家庭，一起度过了所有的节日，游览了宝鸡所有的风景。我们分享彼此的欢乐，更可贵的是，也分享了彼此的悲伤。
感谢宝鸡这个美丽的地方，你优美的环境增添了我大学生活的色彩。
感谢在图书馆上自习时那些陌生人，多少个日日夜夜我们都在一个自习室里读书学习，每天看到的都是熟悉的脸庞，虽然我们之间谁也不知道谁的名字，但一朝眼中再也没有你们的身影，心中不免凄然，略有伤感。
感谢陪伴我的那些音乐，那些跳动的音符，不断给予我勇气和力量，你们是我生活中的好朋友。
最后，感谢我们的国家、人民和我们的亲人给我们提供的这个学习深造的环境，我们将用自己的努力给你们最好的回馈。

宝鸡文理学院本科毕业论文（设计）开题报告
论文题目： 关于测定转动惯量的几个实验设计及其分析
一、立项（选题）依据（学生填写）

1.本人动手能力强，对实验的兴趣浓厚；
2.力学基础较好；
3.符合该课题对实验有极大兴趣，必有较强的实验动手能力的要求。
二、研究内容（学生填写）

1.根据现有力学实验中测量转动惯量的实验过程和误差分析；
2.针对现有实验存在的问题设计出一到两个新的实验方案；
3.就新的实验方案和原实验方案进行实验分析、比较，得出结论。

三、指导教师意见（指导教师填写）

经审查，（同意、不同意）开题。

签 名：
年 月 日
宝鸡文理学院本科毕业论文（设计）结题报告
论文题目： 关于测定转动惯量的几个实验设计及其分析
一、课题完成情况，包括研究过程、结果及存在问题等（学生填写）

根据实验室刚体转动惯量的测量方法，分析实验室转动惯量测量中存在的问题。根据分析结果，针对实验室刚体转动惯量测量中的不足重新设计方案。克服实验室测量方案中的不足，然后分析比较原方案和改进后方案的各自特点，发现新改进方案克服了原实验方案中的不足，基本把原实验方案中的主要几个造成误差的因素消除了。而且本人在完成改进方案后新设计了简单易行的刚体转动惯量测量方法——三线摆法。在新实验设计完成后还对新实验方案的存在误差因素进行了分析。

签 名：
年 月 日
二、指导教师评审意见及论文成绩（指导教师填写）

成 绩： （百分制） 签 名：
年 月 日
三、系毕业论文（设计）指导委员会审查意见：

经审查，（同意、不同意）答辩。

签 名：
年 月 日
宝鸡文理学院本科毕业论文（设计）答辩报告
论文题目： 关于测定转动惯量的几个实验设计及其分析

评语：（答辩小组填写）

答
辩
小
组

姓 名
职 称
答辩成绩
签 字
组 长

成 员

毕业论文成绩
（百分制）
指导教师评定成绩
（权重50%）
答辩成绩
（权重50%）
总评成绩