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简朴工程问题（办法篇）
定义：在寻常生活中，做某一件事，制造某种产品，完毕某项任务，完毕某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率以及工作时间三个量。在数学中，探讨这三个数量之间关系应用题，咱们都叫它们做“工程问题”。

概念结识
导入1：五星花园修隧道，这条隧道长200米，有一种工程队修完共用20天，每天修多少米？

导入2：修一段路，共修了20天，那么每天修这条路多少？

对比两题列表格如下：

工作总量
工作时间
工作效率
导入1
200米
为详细数值
20（天）
200÷20=10（米/天）
导入2
没有告诉详细数值
（当题目中没有告诉详细数值时，咱们就用“1”来表达）
20（天）
1÷20=

通过对比咱们可以发现：

工作总量：需要完毕工作量。（例如：做某一件事，制造某种产品，完毕某项任务，完毕某项工程等等）在工程问题中，当工作总量会浮现两种状况，一种是告诉了详细数值，另一种没有告诉详细数值，咱们就以“1”来表达。

工作时间：完毕一项工作，完毕整个工作所花掉实际时间（休息时间除外）。工作时间一定为带有单位详细数值。

例：完毕一项工作，甲花了10天才完毕，其中甲休息两天，甲工作时间是（）

工作效率：一种单位时间内所完毕工作量。（单位时间：一天，一小时，一分钟）
当工作总量为详细数值时，工作效率同样为详细数值，带有单位。
当工作总量没有告诉详细数值，为“1”时，工作效率为分数，不带单位
这两道题咱们可以很简朴求出工效，但是在实际工程问题中工效都是“隐藏”在某些条件中。
例：求出甲乙工作效率
①完毕一项工程，甲独做需要10天，乙独做需要15天，
②修一段路，甲单独修要10天，乙修6天修了这段路。
ƒ修一段路，甲2天修了这段路，乙修8天修了这段路。
求工作效率时普通都是：找准工作时间相应工作量。然后运用工作量除以工作时间。

《二》关于合伙（在某些工程问题中，出了单干之外，往往还涉及到合伙）
导入：妈妈买了20个苹果，规定姐姐每天吃4个，弟弟每天吃1个，姐弟一起吃，问这些苹果多少天能被吃完？
分析表格如下：
合伙工效
姐姐工效：4（个/天）
弟弟工效：1（个/天）
因此姐弟一起就要吃：1+4=5（个/天）
合伙工效：各自工效之和

合伙时间
20÷（1+4）=4（天）她们合伙4天就把苹果吃完了，即姐姐吃了4天，弟弟也吃了4天。
合伙时间：合伙时间等于各自单独工作时间
合伙工作总量
弟弟吃苹果：1×4=4（个）
姐姐吃苹果：4×4=16（个）
合做工作总量：等于各自工作量之和。

简朴练习：
1：完毕一项工程，甲独做需要10天完毕，乙独做需要15天完毕过，那么甲乙合伙合伙工作效率是____
2：甲乙合做6天，:甲做 天，乙也做 天
3：完毕一项工作，甲乙先合伙20天，再由乙单独做5天完毕这项工作，那么乙做了____天，甲做了______天。（强调工作总量不变）
4：甲乙合伙完毕一项工程，甲做了所有，乙做了所有，则两人合伙一共完毕这项工程______。

例题解析
类型一：普通工程问题
导入：修一段路，甲单独完毕要10天，乙单独完毕需要15天。甲乙合伙多少天可以完毕？
分析：
问题求是工作时间，那么咱们只需要找出工作总量和工作效率即可。题中不懂得工作总量详细数量，因此咱们假设为单位“1”。甲乙合伙那么合伙工作效率应当是甲工作效率加乙工作效率。
甲乙合伙效率也就是： +=
完毕时间： 1÷=6（天）

通过这道题，咱们就可以看出，普通工程问题应用题由两个某些构成，前一种某些提供“工作效率”，而后一种某些重要是提供“工作办法”。
例1：一件工作，甲5小时完毕所有工作，乙6小时又完毕剩余任务一半，最后余下某些由甲、乙合做，还需几小时才干完毕？
分析：此题规定余下某些甲乙合伙要多少天，咱们只要懂得余下工作量是多少，和甲乙合伙工效即可。
解：甲工效：÷5= 乙工效：[（1-）×]÷6=
甲乙合伙工效：+=
余下工作量：1--×=
合伙天数；÷=（小时）

小结：在解决工程问题时，咱们普通从问题出发，理清解决问题所需要条件，然后再题目已知条件中去寻找所需要条件。并且工作量，工作时间，工作效率三者一定要相应。即：用什么工作办法在哪段时间内完毕了哪一某些工作量。
练习：单独完毕某项工程，甲、乙、丙分别需要10小时、15小时、20小时。开始三人一起干，后因工作需要，甲半途调走，成果共用了6小时完毕这项工作。问甲实际工作了多少小时？

类型二：用组合法解工程问题
例题2：完毕一项工作，甲队单独做30天完毕。现甲乙两队合做15天后，甲队有任务调离。乙队再做9天完毕了任务，问这项工作由乙单独完毕需要多少天？

分析：工作办法中提供工作时间有“甲乙合伙15天”和“乙单独做9天”但是题中提供效率是甲效率，并不是成相应关系。工作效率不能变化，那么就需要咱们把工作办法变化一下，变化成与效率相应甲工作时间。

工作办法改成： 甲先单独做15天，余下由乙做了（15+9=24)天完毕。

为什么要变化工作办法：题目中给工作方式与工作效率不相应。
为什么能变化工作办法：由于无论怎么变化工作方式，整个工作除了甲做就是乙做。整个工作总量不变。

甲工作量：×15= 乙工作量：
这道题就可以很简朴求出：1÷[（1—×15）÷24]=48（天）

例题3：一项工程，甲乙两队合做8天可以完毕，现由甲队先做6天，余下任务由乙队独做10天完毕。问乙队单独做这项工程需要多少时间？

分析：工作办法提供时间是甲、乙单独做时间，而可以求出效率是甲乙合伙效率，并不是成相应关系，同样也需要咱们转化。
转化成： 甲乙合伙了6天余下由乙单独做了4天完毕。
甲乙合伙工作量:×6= 乙：
这道题就可以很简朴求出： 1÷[（1—×6）÷4]=16（天）
依照例题2、3咱们可以得出解决工程问题中“分”与“合”办法。
例题四中是单独甲效率，时间与效率不相应，咱们就进行“拆分”。
例题五中题中提供是甲乙合伙效率，时间与效率也不相应，咱们就进行“合并”。
总结：提供是单独效率就把工作办法“拆分”
提供是合伙效率就把工作办法“合并”

练习：甲乙两队合做，20天可完毕一项工程。先由甲队做8天，再由乙队做12天，还剩余这项工程。甲乙两队独做各需多少天？

类型三：两两合伙工程问题
例4：一件工程，甲乙合伙需6天完毕，乙丙合伙需9天完毕，甲丙合伙15天完毕。当前甲乙丙三人合伙需多少天完毕？
分析：规定甲乙丙三人合伙完毕天数，咱们只要懂得甲乙丙三人合伙工效即可。题目中告诉了咱们甲乙丙三人每两人合伙工效。列式表达可得：
甲+乙=，乙+丙=，甲丙=
三个等式中甲乙丙各浮现了两次，把三个等式加起来可得：
2×甲+2×乙+2×丙=，即：2×（甲+乙+丙）= ，甲+乙+丙=
甲乙丙三人合伙完毕天数：1÷=（天）
练习：某项工程，甲乙合伙6天可以完毕，乙丙合伙需8天，甲丙合伙则需12天。问三人合伙几天可以竣工？甲乙丙单独做此工程各需几天竣工？

类型四：假设法工程问题
例5：一项工程，甲单独做20天完毕，乙单独做15天完毕。这项工程，先由甲做了若干天后，再由乙单独完毕，从开工到完毕共用18天。求甲乙两人各做了多少天？
分析：完毕这项工程甲乙工作方式为甲先做，再有乙做，共用18天，规定甲乙各做了多少天，这种题型跟咱们此前学小兔子晴雨天采蘑菇为同一种类型题。因此咱们可以用假设法来解此题。已知甲工效：，乙工效
解法一：假设这18天所有是有甲来做。
那么甲这18天总共完毕工作量为：18×=，比整个工程还少了。（为什么会少？） 咱们在假设所有由甲来做时候，是把乙换做了甲，那么每换一天，甲就要比乙少做-=
总共少了，把乙换做了甲，每天少做，因此乙换天数就为：÷=6（天） 甲做天数就为：18-6=12（天）
注意：如果开始假设所有天数是甲做，求成果就是乙(同窗们假设所有由乙来做)
解法二：由题意可知，整个工程不是由甲做，就是由乙做。整个工程量为1，甲乙工效咱们懂得，完毕总天数咱们也懂得。因此此题咱们尚有可以用方程来解。
解： 设甲工作天，则乙工作（18-）天。
ｘ+（18-）=1
=12
乙工作天数：18-12=6（天）
练习：一件工程，甲独做需20天完毕，乙独做需12天完毕。这件工程，先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到竣工共用14天。问甲乙两人各做了多少天？

例6：一项工程，甲队独做需要15天完毕，乙队独做需要30天完毕，丙队独做需要45天完毕。当前由甲乙丙三队合伙完毕这项工程。在工程过程中，甲队休息1天，乙队休息2天，丙队休息了4天。求完毕这项工程先后一共用了多少天？
分析：此题工作方式中，甲乙丙都各自休息了若干天。她们工作时间就不能拟定，那么咱们可以假设甲乙丙三人没休息，那么甲休息一天工作量1×=，乙休息两天工作量为2×=，丙队休息4天工作量为4×=。咱们假设她们都没有休息。那么她们三人出了把原本“1”工作量做完之外，还要做多（++），总工作量就为（1+++），
解法一： （1+++）÷（++）
=÷
=10（天）
解法二：（同窗们自己完毕。列方程）
练习一项工程，甲单独完毕需要30天，乙单独完毕需要45天，丙单独完毕需要90天。当前由甲乙丙三队合伙完毕此工程。在完毕这项工程过程中，甲休息2天，乙休息3天，丙没有休息，求完毕这项工程先后一共用了多少天？

小结：对于题目中浮现了某队“休息”或做了“若干天”，这种工作时间不拟定题型，咱们普通采用假设法来做。固然也可以通过列方程办法来做。

类型五：消元法解工程问题
导入：完毕某项工程，甲做11天，乙做2天，可以完毕这项工程；甲做11天，乙做4天，可以完毕这项工程。求甲乙单独完毕这项工作各需多少天？
分析：规定甲乙单独完毕工作需要天数，只要懂得甲乙工作效率即可。题目中告诉了咱们两种不同工作方式。列出这两种工作方式可得：
11×甲工效+2×乙工效=.......
11×甲工效+4×乙工效=.......‚
对比两个等式咱们可以发现，第二种比第一种多完毕了-=，是由于乙多做了2天，因此咱们可得：乙工作效率为÷2=。
把乙工作效率带入任意一种等式即可求出甲工效
甲工效：（-×2）÷11=
即：甲单独完毕需要 1÷=20（天）
乙单独完毕需要 1÷=60（天）
小结：此类题型往往会浮现两种状况，咱们把两种状况列出来，通过对比法，可以消去一种未知量，用这样办法消去未知量，普通称为“消元法”
例题7：完毕某项工程，甲做4天，乙做5天，可以完毕这项工程；乙做3天，甲做6天，可以完毕这项工程。求甲乙单独完毕这项工作各需多少天？
分析：此题跟导入题同样，因此咱们可以依照两种工作方式列出等式
4×甲工效+5×乙工效=.......
3×甲工效+6×乙工效=.......‚
对比上一题咱们发现，此题还能直接消去其中一种未知量吗？为什么？
能通过什么办法使其中一种量相似？（强调等式基本性质）
同窗们自行完毕。

练习：一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完毕．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完毕．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完毕？

小结：此类题型，咱们往往还是依照题目中给出两种状况列表出来，观测两个量先后之间关系，找出其中一种量最小公倍数，运用等式基本性质，使题目中某一种量先后保持一致，达到消元目。