1、不定积分计算：直接积分法（利用性质和公式）直接积分法（利用性质和公式）换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法有理函数积分法有理函数积分法*第1页 步骤：步骤：凑微分法关键是凑微分法关键是“凑凑”,“凑凑”目标是把目标是把“不易计算不易计算”不定积分化为轻易用不定积分化为轻易用“直接计算法直接计算法”计算计算或查表计算不定积分或查表计算不定积分.（第（第3 3、4 4步步能够省略）能够省略）（不易计算（不易计算）（轻易计算）（轻易计算）第6页例1.解“凑微分”法解题步骤第7页例2.求原式原式=注：注：当时注意换回原变量想到公式解第8页例3.求令则想到公式解第9页例4.解第10页
2、例5.解第11页例6.解第12页例7.求当当n为偶数时应先降次后再积分；当为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分为奇数时应先凑微分再积分.解第13页例8.解第14页例10.求 原式=解第16页例11.求解法解法2解法解法3 两法结果一样两法结果一样第17页例12.解第18页例13.解第19页惯用简化技巧小结：惯用简化技巧小结：(1)分项积分：(2)降低幂次：(3)统一函数：利用三角公式；配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差；分式分项利用倍角公式,如第20页第21页第22页注注1.1.求解步骤为：求解步骤为：（不易）（轻易）第25页注注:用直接积分和凑微分法是不易计
3、算此积分用直接积分和凑微分法是不易计算此积分.但作变换但作变换例1.求解第26页注注2.2.换元积分法是换元积分法是先换元先换元,再积分再积分,最终回代。这与凑微分最终回代。这与凑微分法法(先凑微分，后换元先凑微分，后换元)不一样。重点不一样，目标相同。不一样。重点不一样，目标相同。第27页例2.解第28页第29页经过这种代换将根式积分化为三角有理式积分经过这种代换将根式积分化为三角有理式积分.被积函数中含有根式被积函数中含有根式对应三角代换对应三角代换第30页例3.解第31页例4.解第32页令令则则原式原式例5.解第33页例6.解第34页例7.解第35页第36页例8.解第37页小结：小结：1
4、.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型 令令令或令或令或第38页2.惯用基本积分公式补充惯用基本积分公式补充7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令第39页第40页不定积分计算直接积分法（利用性质和公式）直接积分法（利用性质和公式）换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法有理函数积分法有理函数积分法*第41页而不定积分而不定积分 易计算易计算,则可采取分部积分公式则可采取分部积分公式,使计算大为简化使计算大为简化.注注1 1：不定积分：不定积分 不易计算不易计算,步骤：步骤：注注2 2：怎样正确地选定：怎样正确地选定u和和v却显得非常主要却显得非常主要.普通说来要考
5、虑以下三点普通说来要考虑以下三点:积分轻易者选作积分轻易者选作dv；求导轻易者选作求导轻易者选作u；不可兼得时以前者为优先。不可兼得时以前者为优先。（不易）（轻易）第44页例1.解第45页例2.解第46页普通说来,当被积函数为以下形式之一时,可考虑利用分部积分法进行计算：幂函数与三角函数(或反三角函数)之积,指数函数与三角函数(或反三角函数)之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数乘积.第47页例3.解第48页例4.解第49页故故第50页例5.求 令则原式解第51页例6.求原式故 原式=说明：说明：也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.解第52页例7.求令则 原式=解第53页例8.解第54页 ,dd)(ln00CxxxxI+=第55页分部积分题目类型：1)直接分部化简积分；2)分部产生循环式,由此解出积分式；(注意：两次分部选择 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例63)对含自然数 n 积分,经过分部积分建立递 推公式.第56页内容小结内容小结 分部积分公式1.使用标准：易求出,易积分2.使用经验：“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后3.题目类型：分部化简；循环解出；递推公式第57页
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