1、第五节第五节 函数极值与最值函数极值与最值第1页一一、函数极值函数极值1.定义定义 假如存在假如存在一个去心邻域一个去心邻域,对于该去心邻域对于该去心邻域内任一点内任一点都有都有成立成立,则称则称是函数是函数极大值极大值,称称为函数为函数极大值点极大值点.(极小值极小值)(极小值点极小值点)第2页极小值点极小值点:极大值点极大值点:第3页2.极值点必要条件极值点必要条件定理定理1若若在在处取得极值处取得极值,且且在在处可导处可导,则则证证不妨设不妨设是极大值是极大值.按定义按定义,存在去心邻域存在去心邻域使得使得对于任意对于任意都有都有即：即：对于任意对于任意都有都有又又由费马引理得由费马引理
2、得:第4页定义定义若若,则称则称是函数是函数驻点驻点.注注:由定理由定理1得得:若若是函数是函数极值点极值点,则则或或不存在不存在.反之不然反之不然.反例反例:但但不是不是极值点极值点.但但不是不是极值点极值点.第5页3.极值判别法极值判别法定理定理2(第一判别法第一判别法)设设在在一个去心邻域一个去心邻域内可导内可导,且在且在处连续处连续.(1)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,符号由正变负符号由正变负则则是极大值是极大值.(2)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,符号由负变正符号由负变正则则是极小值是极小值.(3)若当若当由小到大经过由小到大经过时时,符号不改变符号不改变则则不是极值
3、不是极值.第6页()+-是极大值是极大值()-+是极小值是极小值第7页()+不是极值不是极值()-不是极值不是极值第8页例例1求求极值极值.解解(1)定义域定义域:(2)令令解得解得时时,不存在不存在第9页(3)讨论单调性讨论单调性-不不存存在在+0-不不存存在在-极极小小值值极极大大值值非非极极值值(4)极小值极小值:极大值极大值:第10页说明说明假如由假如由表示式不易确定它在驻点表示式不易确定它在驻点附近符号附近符号,那么那么,用极值第一判别法就不好求用极值第一判别法就不好求极值了极值了.不过不过,这时若函数这时若函数在驻点处在驻点处二阶导数存在且不为零二阶导数存在且不为零,则可用下面定理
4、来求极值则可用下面定理来求极值.定理定理3(第二判别法第二判别法)设设在在处二阶可导处二阶可导,且且则则(1)当当时时,是极大值是极大值(2)当当时时,是极小值是极小值第11页证证 (1)按定义按定义由函数极限局部保号性得由函数极限局部保号性得:就有就有.于是于是,从而从而从而从而(第一判别法第一判别法)第12页(2)类似可证类似可证.例例2求函数求函数极值极值.解解是周期函数，是周期函数，只需考虑只需考虑在区间在区间上情况上情况.令令解得解得极大值极大值极小值极小值第13页二二、函数最大值和最小值函数最大值和最小值 在实际中，经常碰到这么问题：在实际中，经常碰到这么问题：怎样使产品用料最省？
5、成本最低？生产时间最短？怎样使产品用料最省？成本最低？生产时间最短？怎样使生产效益最高？利润最大？怎样使生产效益最高？利润最大？这类问题称为这类问题称为“最优化问题最优化问题”在数学上，在数学上，这类问题可归结为：这类问题可归结为：求某个函数最大值或最小值问题求某个函数最大值或最小值问题（简称最值问题）（简称最值问题）这里，我们只研究一些较简单最值问题。这里，我们只研究一些较简单最值问题。第14页1.设函数设函数是闭区间是闭区间上连续函数上连续函数,且在且在内只有有限个导数为内只有有限个导数为0或不存在点或不存在点.求求在闭区间在闭区间上最值上最值.求法求法:(1)记为记为:(2)(3)第15
6、页例例3 求函数求函数在在上最大值和最小值。上最大值和最小值。解解记记令令解得解得计算计算第16页2.设函数设函数在区间在区间内可导内可导 且只有一个驻点且只有一个驻点又又是是极值点，极值点，则则当当是极大值时，是极大值时，就是区间就是区间上最大值。上最大值。当当是极小值时，是极小值时，就是区间就是区间上最小值。上最小值。（）（）第17页3.在实际问题中在实际问题中,往往依据问题性质就能够断定往往依据问题性质就能够断定可导函数可导函数确有最大值确有最大值(或最小值或最小值),而且一定在而且一定在定义区间内部取到定义区间内部取到.这时这时,假如假如在定义区间在定义区间内部只有一个驻点内部只有一个
7、驻点,那么那么,能够断定能够断定就是就是最大值最大值(或最小值或最小值).(无须讨论无须讨论是否为极值是否为极值)例例4设有一块边长为设有一块边长为正方形铁皮正方形铁皮,从其各角从其各角截去一样小正方形截去一样小正方形,作成一个无盖方盒作成一个无盖方盒,问问:截去多少才能使得作成盒子容积最大截去多少才能使得作成盒子容积最大?第18页解解设截去小正方形边长设截去小正方形边长为为则作成盒子容积则作成盒子容积()令令解得解得第19页在在内可导内可导,且只有一个驻点且只有一个驻点又由实际问题知又由实际问题知:在在内必有最大值内必有最大值就是最大值点就是最大值点,最大值最大值第20页小小 结：结：极值定义极值定义极值判定法：极值判定法：第二判定法第二判定法第一判定法第一判定法最大值，最小值求法最大值，最小值求法极值点必要条件极值点必要条件第21页P162习题习题3-51(1)(3)(5)(8)，3，4(3)，6，8作作 业业f i n第22页
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