习题课二重积分的计算市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

习题课习题课 二重积分计算二重积分计算第第1页页 二重积分计算方法是累次积分法，化二重积二重积分计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分步骤是：分为累次积分步骤是：作出积分区域草图作出积分区域草图选择适当坐标系选择适当坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1。关于坐标系选择。关于坐标系选择 这要从积分区域形状和被积函数特点两个这要从积分区域形状和被积函数特点两个方面来考虑方面来考虑一、主要内容一、主要内容第第2页页被积函数呈被积函数呈 惯用极坐标惯用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2。关于积分次序选择。关于积分次序选择选序标准选序标准能积分，能积分，少分片，少分片，计算简计算简3。关于积分限确定。关于积分限确定二重积分面积元二重积分面积元 为正为正确定积分限时一定要确保下限小于上限确定积分限时一定要确保下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形积分区域为圆形、扇形、圆环形第第3页页看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序，后定限先选序，后定限直角坐标系直角坐标系。先。先 y 后后 x，过任一过任一x a,b,作平行于作平行于 y 轴直线轴直线穿过穿过D内部内部从从D下边界曲线下边界曲线穿入穿入 内层积分下限内层积分下限从上边界曲线从上边界曲线穿出穿出内层积分上限内层积分上限。先。先 x 后后 y过任一过任一 y c,d 作平行于作平行于 x 轴直线轴直线定限定限第第4页页左边界左边界 内层积分下限内层积分下限右边界右边界 内层积分上限内层积分上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分上下限再按上述方法确定每一部分上下限分片计算，结果相加分片计算，结果相加极坐标系极坐标系积分次序普通是积分次序普通是过极点过极点O作任一极角作任一极角 为为 射线射线从从D边界曲线边界曲线 穿入穿入从从 穿出穿出。如。如D须分片须分片第第5页页内下限内下限内上限内上限详细可分为三种情况详细可分为三种情况极点在极点在D边界上边界上 是边界在极点处切线极角是边界在极点处切线极角绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D内部内部化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量函数或常数内限是外层积分变量函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D外部外部第第6页页5 关于二重积分换元法关于二重积分换元法f(x,y)在在D上连续上连续 变换变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将将 uov 平面上闭区域平面上闭区域D1 变成变成 xoy 平面闭区域平面闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在在D1上含有连续一阶偏导数上含有连续一阶偏导数（2）在）在D1上上第第7页页基本要求基本要求:变换后定限简便，求积轻易变换后定限简便，求积轻易注意注意第第8页页例例1 1解解第第9页页第第10页页例例2 计算计算解解积分区域由不等式给出积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得曲线是两个半圆在不等式中取等号所得曲线是两个半圆但它们围不成区域但它们围不成区域都有意义都有意义必须限制必须限制 所以所以D只能在只能在x=0 ，x=2 之间之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域特点，化成极坐标计算较为简单分区域特点，化成极坐标计算较为简单第第11页页显然显然 r 呢呢？极点在极点在D边界上，所以边界上，所以 那就错了那就错了不能认为极点不能认为极点O在区域边界上在区域边界上就误认为对就误认为对 r 积分下限为积分下限为0定定 r 积分限，应先固定积分限，应先固定以原点为起点作射线以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交这射线和两个半圆相交穿入穿入从从从从穿出穿出积分限怎样确定积分限怎样确定第第12页页尽管极点在尽管极点在D边界上边界上但极角为但极角为 射线并不是从极点穿入射线并不是从极点穿入而不是而不是域域D极坐标表示为极坐标表示为第第13页页4。关于对称性。关于对称性 利用对称性来简化重积分计算是十分有效，它与利用对称性来简化重积分计算是十分有效，它与利用奇偶性来简化定积分计算是一样，不过重积分利用奇偶性来简化定积分计算是一样，不过重积分情况比较复杂，在利用对称性是情况比较复杂，在利用对称性是要兼顾被积分函数要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对若若D关于关于 x 轴对称轴对称第第14页页第第15页页若若D关于关于 y 轴对称轴对称若若D关于关于原点原点对称对称第第16页页称为关于积分变量轮换对称性称为关于积分变量轮换对称性是多元积分所独有性质是多元积分所独有性质 奇函数关于对称域积分等于奇函数关于对称域积分等于0，偶函数关于对，偶函数关于对称域积分等于对称部分区域上积分两倍，完全类称域积分等于对称部分区域上积分两倍，完全类似于似于 对称区间上奇偶函数定积分性质对称区间上奇偶函数定积分性质简述为简述为“你你对称，我对称，我奇偶奇偶”、简单地说就是简单地说就是若若 D 关于关于直线直线 y=x 对称对称第第17页页解解D关于关于 x,y 轴及原点及轴及原点及 y=x 对称对称故故故故例例3 计算计算第第18页页例例4 计算计算D2D1解解第第19页页D第第20页页例例6设设 f(x)在在 0,1 上连续上连续求求解解D第第21页页试将二重积分试将二重积分 化成定积分化成定积分解解由积分域和被积函数对称性由积分域和被积函数对称性有有用极坐标用极坐标例例7第第22页页 为将二次积分化为所需要定积分，为将二次积分化为所需要定积分，须变换积分次序须变换积分次序DD1第第23页页依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数 化为一元函数化为一元函数 自然想到用极坐标自然想到用极坐标其次，若先对其次，若先对 r 后对后对 不可深入化为定积分不可深入化为定积分所以想到换序所以想到换序例例8设设 f(x)连续，证实连续，证实注注第第24页页证一证一 令令则则uv第第25页页第第26页页解解D边界边界 极点在极点在D边界上边界上圆周在圆周在(0,0)切线斜率为切线斜率为故故例例4 计算计算第第27页页（和差化积）（和差化积）第第28页页