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CUMCMA题“储油罐变位识别与罐容表标定”解题思绪解析李宏伟 中国地质大学（武汉）数理学院6月第1页汇报提要：汇报提要：一、一、A A题题目题题目二、问题分析二、问题分析三、解题思绪三、解题思绪四、综合评述四、综合评述第2页一、一、A A题题目题题目储油罐变位识别与罐容表标定储油罐变位识别与罐容表标定储油罐变位识别与罐容表标定储油罐变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油地下储油罐，而且通常加油站都有若干个储存燃油地下储油罐，而且普通都有与之配套普通都有与之配套“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采取流量计，采取流量计和油位计来测量进和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，经出油量与罐内油位高度等数据，经过预先标定罐容表（即罐内油位高度与储油量对应关系）过预先标定罐容表（即罐内油位高度与储油量对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量改变情况。进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量改变情况。许多储油罐在使用一段时间后，因为地基变形等原许多储油罐在使用一段时间后，因为地基变形等原因，使罐体位置会发生纵向倾斜和横向偏转等改变（以因，使罐体位置会发生纵向倾斜和横向偏转等改变（以下称为变位），从而造成罐容表发生改变。按照相关要下称为变位），从而造成罐容表发生改变。按照相关要求，需要定时对罐容表进行重新标定。求，需要定时对罐容表进行重新标定。第3页一、一、A A题题目（续）题题目（续）图图1 1是一个经典储油罐尺寸及形状示意图，其主体是一个经典储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。为圆柱体，两端为球冠体。第4页一、一、A A题题目（续）题题目（续）图图2 2是其罐体纵向倾斜变位示意图。是其罐体纵向倾斜变位示意图。第5页一、一、A A题题目（续）题题目（续）图图3 3是罐体横向偏转变位截面示意图。是罐体横向偏转变位截面示意图。请你们用数学建模方法研究处理储油罐变位识别与请你们用数学建模方法研究处理储油罐变位识别与罐容表标定问题。罐容表标定问题。第6页一、一、A A题题目（续）题题目（续）（1 1）为了掌握罐体变位后对罐容表影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表影响，利用如图4 4小椭圆型储油罐（两端平头椭圆柱体），分别对罐体无小椭圆型储油罐（两端平头椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为变位和倾斜角为 纵向变位两种情况做了试验，纵向变位两种情况做了试验，试验数据如附件试验数据如附件1 1所表示。请建立数学模型研究罐体变所表示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为位后对罐容表影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1 1cm罐容表标定值。罐容表标定值。第7页一、一、A A题题目（续）题题目（续）（2 2）对于图）对于图1 1所表示实际储油罐，试建立罐体变位后所表示实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位标定罐容表数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 ）之间普通关）之间普通关系。请利用罐体变位后在进系。请利用罐体变位后在进/出油过程中实际检测数据出油过程中实际检测数据（附件（附件2 2），依据你们所建立数学模型确定变位参数，），依据你们所建立数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为并给出罐体变位后油位高度间隔为1010cm罐容表标定值。罐容表标定值。深入利用附件深入利用附件2 2中实际检测数据来分析检验你们模型正中实际检测数据来分析检验你们模型正确性与方法可靠性。确性与方法可靠性。附件附件1 1：小椭圆储油罐试验数据（：小椭圆储油罐试验数据（略略）附件附件2 2：实际储油罐检测数据（：实际储油罐检测数据（略略）第8页二、问题分析二、问题分析 该问题是来自于加油站设备硕士产企业一个实际课该问题是来自于加油站设备硕士产企业一个实际课题，问题由两大部分组成：题，问题由两大部分组成：第一部分第一部分：为了了解罐体变位对罐容表影响，对于：为了了解罐体变位对罐容表影响，对于小椭圆形储油罐（小椭圆形储油罐（试验罐试验罐），在已知变位参数情况下，），在已知变位参数情况下，检测出油位高度与油量对应数值，要求建模分析罐容表检测出油位高度与油量对应数值，要求建模分析罐容表改变规律，并给出修正罐容表。改变规律，并给出修正罐容表。这一部分属于这一部分属于“正问题正问题”。第9页二、问题分析（续）二、问题分析（续）详细而言，第一部分有以下几个问题要完成。详细而言，第一部分有以下几个问题要完成。（1 1）对于）对于小椭圆形试验罐，要给出它在无变位情小椭圆形试验罐，要给出它在无变位情形下油位高度与储油量计算公式（模型）。形下油位高度与储油量计算公式（模型）。第10页二、问题分析（续）二、问题分析（续）（2 2）对于小椭圆形试验罐，要给出它在纵向倾斜对于小椭圆形试验罐，要给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算修正模型。变位情形下油位高度与储油量计算修正模型。这里需要考虑罐体两端有油这里需要考虑罐体两端有油/无油不一样情况。无油不一样情况。第11页二、问题分析（续）二、问题分析（续）（3 3）对于（对于（2）得到试验罐在纵向倾斜变位情形下）得到试验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量模型，将变位参数油位高度与储油量模型，将变位参数 代入代入计算，计算，得出修正后油位高度间隔为得出修正后油位高度间隔为1cm1cm罐容表标定值。并与原罐容表标定值。并与原标定值比较，分析罐体变位影响。标定值比较，分析罐体变位影响。第二部分第二部分：依据实际检测数据，识别：依据实际检测数据，识别实际储油罐实际储油罐罐罐体是怎样变位，预计出变位参数，给出实际罐罐容表修体是怎样变位，预计出变位参数，给出实际罐罐容表修正标定方法和结果。并分析检验模型正确性和方法可靠正标定方法和结果。并分析检验模型正确性和方法可靠性。性。这一部分属于这一部分属于“反问题反问题”。第12页二、问题分析（续）二、问题分析（续）详细而言，第二部分有以下几个问题要完成。详细而言，第二部分有以下几个问题要完成。（4 4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量量V与油位高度与油位高度h及纵向倾斜角度及纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 之间关系模型，即之间关系模型，即 关系模型。关系模型。第13页二、问题分析（续）二、问题分析（续）这一问要依据油位高度分别考虑两端有油或一端有这一问要依据油位高度分别考虑两端有油或一端有油情况，同时考虑偏转情况，所以，详细解析表示式可油情况，同时考虑偏转情况，所以，详细解析表示式可能会比较复杂。能会比较复杂。第14页二、问题分析（续）二、问题分析（续）（5 5）依据附件）依据附件2 2检测数据，预计实际储油罐纵向倾检测数据，预计实际储油罐纵向倾斜角度斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 。因为实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某因为实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某一油位高度储油量准确值未知。所以，不能由（一油位高度储油量准确值未知。所以，不能由（4 4）求）求出表示式解出出表示式解出 和和 。所以，这一问要给出预计参数所以，这一问要给出预计参数 和和 准则，然后准则，然后再进行预计。再进行预计。第15页二、问题分析（续）二、问题分析（续）（7 7）利用附件）利用附件2 2实际检测数据，分析检验模型正确实际检测数据，分析检验模型正确性和方法可靠性。性和方法可靠性。（6 6）依据（）依据（4 4）得到模型）得到模型 和参数预和参数预计值计值 和和 ，给出罐体变位后油位高度，给出罐体变位后油位高度h间隔为间隔为10cm10cm罐容表标定值。罐容表标定值。第16页三、解题思绪三、解题思绪 （1 1）对于）对于小椭圆形试验罐，给出它在无变位情形小椭圆形试验罐，给出它在无变位情形下油位高度与储油量计算公式（模型）。下油位高度与储油量计算公式（模型）。xyOhab第17页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）利用积分能够计算出油位高度为利用积分能够计算出油位高度为h时试验罐截面面时试验罐截面面积，于是得到油位高度与储油量计算公式：积，于是得到油位高度与储油量计算公式：其中其中a，b，L分别是试验罐截面椭圆长半轴、短半轴和分别是试验罐截面椭圆长半轴、短半轴和罐体长度，罐体长度，h为油位高度。为油位高度。这个计算公式也能够从相关文件中查到。这个计算公式也能够从相关文件中查到。将试验罐实际参数代入计算，轻易得到试验罐无变将试验罐实际参数代入计算，轻易得到试验罐无变位情形正常罐容表。位情形正常罐容表。第18页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（2 2）对于小椭圆形试验罐，给出它在纵向倾斜变对于小椭圆形试验罐，给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算修正模型。位情形下油位高度与储油量计算修正模型。油面下降到油面下降到区时，油浮显示油位高度总是区时，油浮显示油位高度总是0 0，不随实际油，不随实际油量改变而改变，无需要考虑油面在量改变而改变，无需要考虑油面在I I区内油量计算公式。区内油量计算公式。同理，当油位高度上升到同理，当油位高度上升到区时，因为油浮显示油位高度总区时，因为油浮显示油位高度总是是2 2a，也无需考虑油面在，也无需考虑油面在区内油量计算公式。区内油量计算公式。第19页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）因而，只需讨论油面分别处于因而，只需讨论油面分别处于、三个区域三个区域内时，储油量与油位高度、油罐纵向倾角关系表示式。内时，储油量与油位高度、油罐纵向倾角关系表示式。当油面分别处于当油面分别处于、三个区域内，计算储油三个区域内，计算储油量截面面积沿量截面面积沿x轴积分，可分别得到当轴积分，可分别得到当h处于不一样高度处于不一样高度时储油量计算公式：时储油量计算公式：其中，其中，l为探针到左侧面距离。为探针到左侧面距离。第20页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（3 3）将变位参数将变位参数 代入上述公式代入上述公式计算，得出计算，得出修正后油位高度间隔为修正后油位高度间隔为1cm1cm罐容表标定值。罐容表标定值。罐体变位后高度间隔为罐体变位后高度间隔为10cm10cm罐容表标定值罐容表标定值油面高度油面高度n n油容油容量量油面高度油面高度n n油容油容量量油面高度油面高度n n油容油容量量101070.1370.1350501371.881371.8890903072.433072.432020281.86281.8660601798.521798.521001003450.723450.723030595.25595.2570702232.502232.501101103776.643776.644040965.66965.6680802661.422661.421201204012.754012.75 深入，与正常标定值比较分析可知，试验罐在纵向倾斜变深入，与正常标定值比较分析可知，试验罐在纵向倾斜变位情形，实际油量与原标定值最大误差在位情形，实际油量与原标定值最大误差在257L以上，平均误差达以上，平均误差达190L以上，平均相对误差到达以上，平均相对误差到达30%以上以上。第21页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（4 4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量量V与油位高度与油位高度h及纵向倾斜角度及纵向倾斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 之间关系模型，即之间关系模型，即 。因为本问较复杂，需要分情况建立模型，能够先考因为本问较复杂，需要分情况建立模型，能够先考虑只发生纵向变位情况。虑只发生纵向变位情况。第22页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）其中其中 球冠球冠体积表示式为：体积表示式为：第23页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）其中其中 球冠球冠III体积表示式为：体积表示式为：第24页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）其中其中 圆柱体圆柱体II体积表示式为：体积表示式为：第25页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）在不考虑罐体横向变位情况下（即在不考虑罐体横向变位情况下（即 ），储油罐），储油罐体积与辅助变量体积与辅助变量 关系表示式为：关系表示式为：第26页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）在不考虑横向变位情况下（即在不考虑横向变位情况下（即 ），储油罐油位），储油罐油位高高 与辅助变量与辅助变量 关系表示式为：关系表示式为：依据以上依据以上 与与 转换关系，就能够得到罐体内油转换关系，就能够得到罐体内油量与油位高量与油位高 及纵向倾斜角及纵向倾斜角 关系表示式关系表示式第27页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）深入，考虑罐体在产生纵向变位基础上，又产生了深入，考虑罐体在产生纵向变位基础上，又产生了横向变位，此时罐体位置以下列图：横向变位，此时罐体位置以下列图：第28页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）未产生横向变位时油位高未产生横向变位时油位高 与产生横向变位后油位与产生横向变位后油位高高h之间满足以下关系：之间满足以下关系：因为罐体只产生纵向变位时油位高度因为罐体只产生纵向变位时油位高度 与储油量与储油量 对应关系已得到，再依据上面推导出对应关系已得到，再依据上面推导出 与同时与同时发生纵向和横向变位时油位高发生纵向和横向变位时油位高h，就能够求出普通情况，就能够求出普通情况下，即罐体同时产生下，即罐体同时产生纵向和纵向和横向变位油位高横向变位油位高h与储油量与储油量V之间关系模型之间关系模型 。第29页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（5 5）依据附件）依据附件2 2检测数据，预计实际储油罐纵向倾检测数据，预计实际储油罐纵向倾斜角度斜角度 和横向偏转角度和横向偏转角度 。依据附件依据附件2 2数据能够得到不一样时刻出油量数据能够得到不一样时刻出油量 ，同时能够计算对应油位改变量同时能够计算对应油位改变量 。这一问就能够归结为求解非线性最小二乘问题：这一问就能够归结为求解非线性最小二乘问题：依据前一问模型表示式依据前一问模型表示式 ，能够得到，能够得到理论上储油量改变量理论上储油量改变量 。或或第30页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）利用附件利用附件2 2部分数据（比如前半部分），借助软件部分数据（比如前半部分），借助软件和各种数值方法能够预计出实际储油罐纵向倾斜角度和和各种数值方法能够预计出实际储油罐纵向倾斜角度和横向偏转角度。横向偏转角度。实际上，储油量对横向偏转变位角不敏感。假如经实际上，储油量对横向偏转变位角不敏感。假如经分析说明了这一点，这一问也能够直接考虑纵向变位单分析说明了这一点，这一问也能够直接考虑纵向变位单参数预计问题。参数预计问题。详细预计值依所用计算方法不一样而有差异，普通详细预计值依所用计算方法不一样而有差异，普通地，地，第31页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（6 6）依据模型）依据模型 和前一问得到参数预和前一问得到参数预计值计值 和和 ，就能够给出罐体变位后罐容表标定值。，就能够给出罐体变位后罐容表标定值。h h101020203030404050506060707080809090100100L L354.76354.761065.801065.802223.042223.043702.653702.655432.635432.637371.387371.389487.879487.8711756.6111756.6114155.5114155.5116664.6216664.62h h110110120120130130140140150150160160170170180180190190200200L L19265.6019265.6021941.1821941.1824674.8824674.8827450.7727450.7730253.2530253.2533066.9933066.9935876.7635876.7638667.2738667.2741423.1141423.1144128.4844128.48h h21021022022023023024024025025026026027027028028029029034003400L L46767.2146767.2149322.4449322.4451776.4051776.4054109.9354109.9356302.1256302.1258329.2758329.2760163.3960163.3961768.9061768.9063093.6363093.6364026.1764026.17罐体变位后修正罐容表（罐体变位后修正罐容表（）第32页三、解题思绪（续）三、解题思绪（续）（7 7）检验与分析）检验与分析 利用附件利用附件2 2实际检测数据（比如后半部分），与模实际检测数据（比如后半部分），与模型型 计算数值进行对比分析，就能够检验计算数值进行对比分析，就能够检验模型正确性和方法可靠性。模型正确性和方法可靠性。第33页四、综合评述四、综合评述 （1 1）本题起源于一个实际问题，解答结果能够有）本题起源于一个实际问题，解答结果能够有差异，不过差异不能太大。差异，不过差异不能太大。（2 2）本题难点是）本题难点是 试验罐试验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量修正在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量修正模型建立。模型建立。实际罐在纵向倾斜和横向偏转情形下储油量与油位高实际罐在纵向倾斜和横向偏转情形下储油量与油位高度关系模型建立与分析。度关系模型建立与分析。实际罐变位参数辨识准则建立与求解。实际罐变位参数辨识准则建立与求解。第34页四、综合评述（续）四、综合评述（续）（3 3）对于试验罐，在纵向倾斜变位情形下油位高）对于试验罐，在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量修正模型，用不一样方法可能有不一样表示度与储油量修正模型，用不一样方法可能有不一样表示式，但都需要考虑罐体两端有油式，但都需要考虑罐体两端有油/无油情况。将变位参无油情况。将变位参数代入计算，结果不应有太大差异。数代入计算，结果不应有太大差异。（4 4）对于实际罐，罐体变位后储油量与油位高度）对于实际罐，罐体变位后储油量与油位高度及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间模型解析表示式形及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间模型解析表示式形式比较复杂，主要是在分析过程，也需要考虑两端含油式比较复杂，主要是在分析过程，也需要考虑两端含油情况。情况。本小问能够经过不一样方法来实现，但应注意引入本小问能够经过不一样方法来实现，但应注意引入变位参数方法和表示形式合理性。变位参数方法和表示形式合理性。第35页四、综合评述（续）四、综合评述（续）（5 5）对于实际罐变位参数预计，应有明确辨识准）对于实际罐变位参数预计，应有明确辨识准则。则。尤其要注意，不能直接使用附件尤其要注意，不能直接使用附件2 2显示储油量显示储油量 和和对应对应 作参数预计，也就是不能求作参数预计，也就是不能求解，因为解，因为 是无变位时显示储油量。是无变位时显示储油量。第36页第37页