高一数学上学期期中试题31.doc

2016~2017学年度第一学期期中考试试题
高一数学
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上．）
1．设A = {1，2}，B = {2，3}，则A∩B = ▲ ．
（答案：{2}，改编自课本18页复习题4）
2．函数的定义域为 ▲ ．
（答案：[1，+∞），改编自课本52页复习题1（4））
3．函数f(x) = (x – 1)2 – 1的值域为 ▲ ．
（答案：[-1，+∞），课本27页练习7）
4．若函数f(x) = x2 + mx – 2在区间(2，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是
▲ ．
（答案：m≥-4，改编自课本54页本章测试6）
5．若函数y = ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a =
▲ ．
（答案：2，改编自课本112页本章测试5）
6．设U = R，A = {x|x＜1}，B = {x|x＞m}，若CUAB，则实数m的取值范围为
▲ ．
（答案：m＜1，课本10页习题7（1））
7．设A = B = {a，b，c，d，e，…，x，y，z}（元素为26个英文字母作映射f：A→B
为并称A中字母拼成的文字为明文，相应的B中对应字母拼成的文字为密文，若现在
有密文为mvdlz，则与其对应的明文应为 ▲ ．
（答案：lucky，改编自课本48页习题6）

8．已知函数f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x) = x3 + x + 1，则f(2) = ▲ ．
第10题图
（答案：9，改编自课本54页本章测试10）
9．函数的值域为 ▲ ．
（答案：(－∞，2]）
10．设函数f(x)为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，
则关于x的不等式f(x - 2)＞0的解集是 ▲ ．
（答案：）
11．已知一个函数的解析式为y = x2，它的值域为{1，4}，则满足此条件的函数的个数
为 ▲ ．
（答案：9，改编自课本52页复习题10）
12．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增函数，若f(1)＜f(lgx)，则
实数x的取值范围是 ▲ ．
（答案：或x＞10，课本111页复习题17）
13．若f(x) = x(|x|－2)在区间[－2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是
▲ ．
（答案：）
14．已知函数f(x) = x2 – ax(a＞0且a≠1)，当x∈(-1，1)时，f(x)＜恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
（答案：）
二、解答题
15．设全集R，集合，．
（1）求B及；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围．
（改编自课本19页本章测试13、14两题）
解：（1）∵ ……………………………………2分
∴ ……………………………………4分
∴ ……………………………………7分
（2）由得 ……………………………………9分

根据数轴可得， ……………………………………12分
从而 ……………………………………14分
16．（本小题满分14分）
（1）；
（2）已知，求和的值．（改编自课本63页习题6）
解：（1）原式 = 1 + + lg1000 …………………………………3分
= 1 + + 3 …………………………………5分
= …………………………………7分
（2） …………………………………10分
∵
∴由得 …………………………………14分
（注：不指出得扣1分；直接得扣2分）
17．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2．（注：利润与投资量单位：万元）（改编自课本104页习题2）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万
元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．

由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴
又g（4）=1.6，∴．从而，
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．
（0≤x≤10）
令，则=
当t=2时，，此时x=10﹣4=6
答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为
2.8万元．
18．已知，a是实常数，
（1）当a = 1时，写出函数f（x）的值域；
（2）判断并证明f(x)的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范围．
（改编自课本71页习题13，113页本章测试15）
解：（1）当a = 1时，，定义域为R，
，，
即函数的值域为（1，3）．
（2）函数f（x）在R上单调递减；下证明．
证明：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2
= ，
所以函数f（x）在R上单调递减．
（3）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，
即对x∈R恒成立，
化简整理得，即a =﹣1．
（若用特殊值计算a，须验证，否则，酌情扣分．）
因为f（f（x））+ f（m）＜0有解，且函数为奇函数，
所以f（f（x））＜﹣f（m）=f（﹣m）有解，
又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞﹣m有解，
即fmax（x）＞﹣m有解，
又因为函数的值域为（﹣1，1），
所以﹣m＜1，即m＞﹣1．
19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．
解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，
∴，
∴， ∴；
（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m，
∴，
∴对任意的x∈[0，2]恒成立，
即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，
令，则t∈[1，4]， ∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，
∴，∴．
20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．
（1）若f（2）=0，求实数a的值；
（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），
当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…
当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…
（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），
∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，
当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…
当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…
∴或．…
（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），
∴，
当a＞0时，，∴2≤a≤3，…
当a=0时，不合题意，…
当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…
∴2≤a≤3．