江苏省连云港市徐州市宿迁市高三数学下学期第三次模拟考试试题.doc

江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题
参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－x)2，其中x＝xi.
棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{－1，1，2}，B＝{0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为________．
2. 设a，b∈R，＝a＋bi(i为虚数单位)，则b的值为________．

(第5题)

3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率是________．
4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．
6. 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．
7. 已知实数x，y满足则的取值范围是________．
8. 若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)在上的单调减区间是________．
9. 在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中，Sn为{an}的前n项和．若a1＝，且S5＝S2＋2，则q的值为________．
10. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．
(第10题)

　　　　　　(第11题)

11. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________．
12. 已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实数m的取值范围是________．
14. 已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2.当·取得最大值时，的值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.
(1) 求cosB的值；
(2) 求CD的长．

16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1) 求证：AB∥EF；(2) 若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF.

17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．
(1) 若QF＝2FP，求直线l的方程；
(2) 设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

18. (本小题满分16分)
某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且≥.设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.
(1) 求S关于θ的函数关系式，并求出定义域．
(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．

19. (本小题满分16分)
已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，S2＝4，对任意的n∈N*，都有3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn>Tn.证明：an>bn；
(3) 若{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a2，求满足＝ak(k∈N*)的n值．

20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝＋xlnx(m>0)，g(x)＝lnx－2.
(1) 当m＝1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2) 设函数h(x)＝f(x)－xg(x)－，x>0.若函数y＝h(h(x))的最小值是，求m的值；
(3) 若函数f(x)，g(x)的定义域都是，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，0为坐标原点．求m的取值范围．

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____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学
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2017届高三年级第三次模拟考试(三)·数学附加题　第页(共2页)
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2017届高三年级第三次模拟考试(三)
数学附加题21. 本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (本小题满分10分)
如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的度数．

B. (本小题满分10分)
已知矩阵A＝，若A＝＝，求矩阵A的特征值．

C. (本小题满分10分)
在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0(0≤θ≤2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．

D. (本小题满分10分)
已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：a＋b＋c≥3.

【必做题】第22题、第23题．每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，点F(1，0)，直线x＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y＝n的交点为P.
(1) 求动点P的轨迹E的方程；
(2) 过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．

23. (本小题满分10分)
已知集合U＝{1，2，…，n}{n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)．
(1) 写出f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2) 求f(n).

2017届高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市)
数学参考答案
一、 填空题
1. 5　2. 1　3. 　4. 　5. 6　6. (或5.2)　7. 　8. (，)　9. 　10. 　11. 　12. (1，5](或16分)
＝×－×＝.(8分)
(2) 在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20.(10分)
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5. (12分)
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝
＝
＝9. (14分)
16. (1) 因为ABCD是矩形，所以AB∥CD.(2分)
又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC.(4分)
又因为AB⊂平面ABEF，
平面ABEF∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.(6分)
(2) 因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD. (8分)
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. (10分)
又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF. (12分)
又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.(14分)
17. (1) 因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，
所以F的坐标为(1，0)，(1分)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，
代入椭圆方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
则y1＝，
y2＝. (4分)
若QF＝2PF，则＋2×＝0，
解得m＝，故直线l的方程为x－2y－＝0.(6分)
(2) 由(1)知，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以my1y2＝＝(y1＋y2)，8分)
所以＝·＝ (12分)
＝＝，
故存在常数λ＝，使得k1＝k2.(14分)
18. (1) 过点O作OH⊥FG于点H，则∠OFH＝∠EOF＝θ，
所以OH＝OFsinθ＝sinθ，
FH＝OFcosθ＝cosθ.(2分)
所以S＝4S△OFH＋4S扇形OEF
＝2sinθcosθ＋4×
＝sin2θ＋2θ，(6分)
因为≥，所以sinθ≥，
所以定义域为.(8分)
(2) 矩形窗面的面积为S矩形＝AD·AB＝2×2sinθ＝4sinθ.
则透光区域与矩形窗面的面积比值为
＝＋.(10分)
设f(θ)＝＋，≤θ<.
则f′(θ)＝－sinθ＋
＝＝
＝，(12分)
因为≤θ<，所以sin2θ≤，
所以sin2θ－θ<0，故f′(θ)<0，
所以函数f(θ)在上单调减．
所以当θ＝时，f(θ)有最大值＋，此时AB＝2sinθ＝1(m)．(14分)
答：(1) S关于θ的函数关系式为S＝sin2θ＋2θ，定义域为；
(2) 透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1m.(16分)
19. (1) 由3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an，得2(Sn＋1－Sn)＝Sn＋2－Sn＋1＋an，
即2an＋1＝an＋2＋an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an. (2分)
由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3.
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故{an}的通项公式为an＝2n－1.(4分)
(2) 证法一：设数列{bn}的公差为d，则Tn＝nb1＋d，
由(1)知，Sn＝n2.
因为Sn>Tn，所以n2>nb1＋d，即(2－d)n＋d－2b1>0恒成立，
所以 即(6分)
又由S1>T1，得b1<1，
所以an－bn＝2n－1－b1－(n－1)d＝(2－d)n＋d－1－b1
≥(2－d)＋d－1－b1＝1－b1>0.
所以an>bn，得证. (8分)
证法二：设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得an0≤bn0，
则a1＋(n0－1)×2≤b1＋(n0－1)d即a1－b1≤(n0－1)(d－2)，
因为a1>b1，所以d>2.(6分)
所以Tn－Sn＝nb1＋d－n2＝n2＋n，
因为－1>0，所以存在N0∈N*，当n>N0时，Tn－Sn>0恒成立．
这与“对任意的n∈N*，都有Sn>Tn”矛盾！
所以an>bn，得证. (8分)
(3) 由(1)知，Sn＝n2.因为{bn}为等比数列，且b1＝1，b2＝3，
所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以bn＝3n－1，Tn＝.(10分)
则＝＝＝3－，
因为n∈N*，所以6n2－2n＋2>0，所以<3.(12分)
而ak＝2k－1，所以＝1，即3n－1－n2＋n－1＝0(*)．
当n＝1，2时，(*)式成立；(14分)
当n≥2时，设f(n)＝3n－1－n2＋n－1，
则f(n＋1)－f(n)＝3n－(n＋1)2＋n－(3n－1－n2＋n－1)＝2(3n－1－n)>0，
所以0＝f(2)1时，f′(x)>0；当0x)＝＋2x－，则h′(x)＝2－＝，令h′(x)＝0得x＝，
当0时，h′(x)>0，函数h(x)在(，＋∞)上单调增．
所以min＝h()＝2－.(6分)
①当(2－1)≥，即m≥时，
函数y＝h(h(x))的最小值h(2－)＝
＝，
即17m－26＋9＝0，解得＝1或＝(舍)，所以m＝1；………8分)
②当0<(2－1)<，即因为y′＝>0在上恒成立，
所以函数y＝在上单调增，故kOB∈.(12分)
所以kOA∈，即≤＋lnx≤e在上恒成立，
即－x2lnx≤m≤x2(e－lnx)在上恒成立．
设p(x)＝－x2lnx，则p′(x)＝－2xlnx≤0在上恒成立，
所以p(x)在上单调减，所以m≥p(1)＝. (14分)
设q(x)＝x2(e－lnx)，
则q′(x)＝x(2e－1－2lnx)≥x(2e－1－2lne)>0在上恒成立，
所以q(x)在上单调增，所以m≤q(1)＝e.
综上所述，m的取值范围为. (16分)
附加题
21. A. 连结AN，DN.
因为A为弧MN的中点，
所以∠ANM＝∠ADN.
而∠NAB＝∠NDB，
所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB，
即∠BCN＝∠ADB. (5分)
又因为∠ACN＝3∠ADB，
所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°，
故∠ADB＝45°.(10分)

B. 因为A＝＝＝，
所以 解得
所以A＝.(5分)
所以矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，
令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.(10分)
C. 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，
则点A(2，)的直角坐标为(0，2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.(4分)
AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点，
解得 所以点B的直角坐标为(－1，1)．(8分)
所以点B的极坐标为(，π)．(10分)
D. 因为a3＋b3＋c3＝a2b2c2≥3，
所以abc≥3，(5分)
所以a＋b＋c≥3≥3，
当且仅当a＝b＝c＝时，取“＝”．(10分)
22. (1) 因为直线y＝n与x＝－1垂直，所以MP为点P到直线x＝－1的距离．
连结PF，因为P为线段MF的中垂线与直线y＝n的交点，所以MP＝PF.
所以点P的轨迹是抛物线．(2分)
焦点为F(1，0)，准线为x＝－1.
所以曲线E的方程为y2＝4x. (5分)
(2) 由题意，过点M(－1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y－n＝k(x＋1)，
联立 得ky2－4y＋4k＋4n＝0，
所以Δ1＝16－4k(4k＋4n)＝0，即k2＋kn－1＝0(*)，(8分)
因为Δ2＝n2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为k1k2，
因为k1·k2＝－1，所以∠AMB＝90°，为定值. (10分)
23. (1) f(2)＝1，f(3)＝6，(2分)
f(4)＝25. (4分)
(2) 解法一：设集合A中有k个元素，k＝1，2，3，…，n－1.
则与集合A互斥的非空子集有2n－k－1个．(6分)
于是f(n)＝C(2n－k－1)＝[C－C－C＝2n－2，
所以f(n)＝＝(3n－2n＋1＋1)．(10分)
解法二：任意一个元素只能在集合A，B，C＝∁U(A∪B)之一中，
则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；(6分)
其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，
所以A，B均为非空子集的种数为3n－2×2n＋1，(8分)
又(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，
所以f(n)＝(3n－2n＋1＋1)．(10分)