高中数学16三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4.doc

1.6三角函数模型的简单应用
学习目标：会用三角函数解决一些简单的实际问题；
体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
学习重点：三角函数的实际应用
学习难点：三角函数模型的建立
【学法指导】
三角函数是刻画周期现象的重要模型，利用三角函数模型解决实际问题时，要注意充分依据收集的数据，画出“散点图”，观察“散点图”的特征，当“散点图”具有波浪形的特征时，可以考虑应用正、余弦函数进行拟合.
一．知识导学
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝____；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝____；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝____.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝ ，ymin＝ .
(2)A＝ ，k＝ .
(3)ω可由 确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝ ，ωx2＋φ＝ ，ωx3＋φ＝ ，ωx4＋φ＝ ，ωx5＋φ＝ 中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
二．探究与发现
【探究点一】利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在．潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．
例如，如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.
根据图象可知，一天中的温差是 ；
这段曲线的函数解析式是y＝ ．
【探究点二】三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
例如，一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是：s＝6sin.
(1)画出它的图象；
t
0

1
2πt＋

π

2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3

(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
【典型例题】
例1．(1)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．

(2)作出函数y＝sin|x|的图象并判断其周期性．

跟踪训练1。求下列函数的周期：
(1)y＝|sin 2x|；

(2)y＝；

(3)y＝|tan 2x|.

例2．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．

跟踪训练2。下图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)
在同一周期内的图象．
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？

例3．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？忽略离港所用的时间)

小结　确定函数关系式y＝Asin ωt＋B(A>0)，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝，B＝.
跟踪训练3。设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 (　　)
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
三．巩固训练
1．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内 (　　)
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
2．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)

3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天
轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮
中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
四．课堂小结：
三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.