2015全国1卷理科数学.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（A卷）
理科数学
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z满足=i，则|z|=
（A）1 （B） （C） （D）2
（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=
（A） （B） （C） （D）
（3）设命题P：nN，>，则P为
（A）nN, > （B） nN, ≤
（C）nN, ≤ （D） nN, =
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
（5）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是
（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

（7）设D为ABC所在平面内一点，则
（A） (B)
（C） (D)
(8)函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
(A)
(B)
(C)
(D)
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10） 的展开式中，的系数为
（A）10 （B）20 （C）30 （D）60

（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则=
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

（12）设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

二.填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若函数为偶函数，则
（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为 。
（15）若满足约束条件则的最大值为 .
（16）在平面四边形中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
Sn为数列{}的前n项和.已知>0，+2=4+ 3
（Ⅰ）求{}的通项公式：
（Ⅱ）设数列求{}的前n项和

（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。
（1）证明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

（xi-）2
（wi-）2
（xi-）(y-)
（wi-）(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi =i, ， =i
（1） 根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2yx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，
讨论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分。
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，BC交⊙于点E。
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线；
（Ⅱ）若CA=CE，求∠ACB的大小。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I） 求，的极坐标方程；
（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围