高一数学上学期周清-第七周周清-不等关系及一元二次不等式.doc

第七周周清 不等关系及一元二次不等式
核心知识
知识点一：一元二次不等式的定义
　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.
　　任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法
　　一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.

　设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

二次函数
（）的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

注意：
　　（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；　　（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
　　（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤
　　（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
　　（2）写出相应的方程，计算判别式：
　 　　　①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
　 　　　②时，求根；
　 　　　③时，方程无解
　　（3）根据不等式，写出解集.

规律方法指导
　　1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；　　2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
　　3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
　　4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系；
　　5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
自我测评
例题
类型一：解一元二次不等式
　　例1．解下列一元二次不等式
　　（1）； （2）； （3）
　　思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
　　解析：
　　（1）方法一：
　　　　 因为
　　　　 所以方程的两个实数根为：，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 因而不等式的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 或
　　　　 解得 或 ，即或.
　　　　 因而不等式的解集是.
　　（2）方法一：
　　　　 因为，
　　　　 方程的解为.
　　　　 函数的简图为：

　　　　 所以，原不等式的解集是
　　　　 方法二：
　　　　 （当时，）
　　　　 所以原不等式的解集是
　　（3）方法一：
　　　　 原不等式整理得.
　　　　 因为，方程无实数解，
　　　　 函数的简图为：

　　　　 所以不等式的解集是.
　　　　 所以原不等式的解集是.
　　　　 方法二：
　　　　 ∵
　　　　 ∴原不等式的解集是.