曲边梯形的面积教学设计.doc

§1.5.1 曲边梯形的面积教学设计
———冯文雅
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）知道曲边梯形的概念，通过实例了解求曲边梯形面积的过程，初步感受“以直代曲”与逐步逼近的数学思想方法，为今后学习定积分的概念做准备.
（2）理解求曲边梯形面积的具体步骤及作法：
（a）分割：区间的等宽分割与各小区间的表示；
（b）以直代曲：求以各小区间的长为宽，小区间左端点的函数值为长的各小矩形面积；
（c）近似代替的求和：所有小矩形面积的和为所求曲边梯形面积的近似值；
（d）取极限：当分割得越细，这个近似值就越接近精确值。求它的极限得曲边梯形的面积.
（3）培养学生分析与综合、抽象与概括的能力，以及进行复杂运算的能力.
2.过程与方法
让学生经历求曲边梯形面积的全过程，逐步深入地理解“以直代曲”与逐步逼近的思想.
3.情态与价值
使学生经历解决问题的全过程，感受成功的乐趣，提高学生刻苦钻研数学问题的积极性.
二.教学重点、难点
重点：（1）理解定积分的“以直代曲”与“逐步逼近”的数学思想；（2）理解“四步曲”的步骤.
难点：定积分的以直代曲与逐步逼近基本思想的形成.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过典型案例的探究过程，逐步体会定积分的基本思想.
2.教学用具：多媒体或投影仪，三角板.
四.教学思路
（一）创设情景，揭示课题
经苏州市人民政府授权，苏州工业园区管理委员会批准，苏州工业园区土地管理局将对位于苏州工业园区，地块编号为苏园03号宗地国有土地使用权实行公开拍卖出让。现就有关事项公告如下：
3100
≤1.5
≤30%
≥35%
770
住宅
119373.68
星都街与苏绣路
苏园
起拍价（元/平方米）
容积率
建筑
密度
绿地率
出让年限
用途
面积
（平方米）
位置
地块
拍卖地块情况：

星 都 街
苏
绣
路

1.我们抽象出一个曲边梯形的图形，如图1.5-2
师：我们求过很多平面图形的面积，现在大家看一看，你会求这个图形的面积吗？
【设计意图：通过观察、比较，然后引出曲边梯形的概念】

2.师：为什么？这里的图形是由直线x=1,y=0，
x轴与抛物线所围成的特殊的平面图形，
不能直接套用公式来解决。
3.师：请大家再想一想，能用什么方法来解决吗？
教师点拨：我们考虑用简单的图形来估计它的面积.
用什么图形好呢？由于矩形面积=长×宽，最简单，
故用矩形的面积.
【师生互动，老师适时提出问题，启发学生】
师：（如图1）用一个矩形的面积估计行吗？为什么？（误差太大了。）
如果利用中点分割出两个矩形，（如图2）用它们的面积和来估计呢？误差会小一点吗？
如利用三等分点得到三个矩形的面积和呢？（如图3）

图2

图3

【师生互动，学生动手作草图探索】
师生：如果要用很多的这样的矩形呢？能找出来？
误差会怎样变化？用更多一些矩形，得到的面积和是否
越来越接近准确的曲边梯形面积呢？
师生：根据这样的想法，具体的做法应该怎样？
【师生互动，教师可大致描绘做法的思路，并指出
当矩形无限增多时，其极限值即为曲边梯形面积的精确值】
师：现在我们把思路整理一下，具体的步骤是怎样？
【设计意图：让学生初步感受“以曲代直”与逐步逼近的数学思想】
（二）研探新知
师生：分割－近似代替－求和－求极限德精确值。
下面我们按照这个思路来解决问题.
（1）分割：
把区间作n等分，得到n个小区间：

其中第的区间为，
其长度=
过上述的分点作X轴的垂线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，显然，这些小曲边梯形的面积的和 就是所求曲边梯形面积.
（2）近似代替
上述的小曲边梯形面积和不易得到，故我们考虑用小矩形的面积去代似代替。这些小矩形如何作出，它们的宽与高分别是什么？
可知宽为，高为（取每个小区间的左端点的函数值）

这样，在区间上，局部的
上“以曲代直”（即用小矩形面积代替
相应的小曲边梯形面积），则有

（3）求和
这些小矩形的面积和能否作为曲边梯形面积的近似值。我们来求这些小矩形的面积和。
记这些小矩形面积的和为，则

（注意公式： ）
故
（4）取极限
当小矩形无限的增多，或近似值的极限就得到曲边梯形面积的精确值。
如何求出这个精确值呢？联想到用正多边形求圆的面积的方法，同样，用极限的方法求得。从而
。
∴ 在上，由函数与x轴围成的曲边梯形的面积是。
注：一般曲边梯形的面积求解步骤：分割近似代替求和取极限。
三.质疑答辩，排难解惑，发展思维
（1）.师：我们再来整理上面解决问题的思路与具体做法。基本的思路是什么？这里的步骤是一成不变的吗？具体做法中，小区间的分割方法与小矩形中的高取法一定要这样的取法吗？请大家阅读课文（P42-P47）
【设计意图：让学生弄清主要的思路与做法】
师生：这里的基本思想是：“以曲代直”与逐步逼近。在把区间分割为一些小区间后，由于每个小曲边梯形很小，与相应的矩形的面积相差很小，故我们在局部上做近似代替，随着小区间的无限增多，最后得到准确的结果。上面的具体做法都是在基本思想的指导下，为了降低解题难度，简单化的做法.
（2）。让学生完成教材P47的练习.
四.承上启下，留下悬念
1.留下课后练习.
（1）.在区间上等间隔地插入n-1个点，将它分成n个小区间，则每个小区间的长度是（ ）
A B C D
（2）.把区间作n等分，得n个小区间。则第5个小区间是（ ）
A B
C D
（3）.把区间作n等分，将它分成n个小区间，则对曲线在区间上来说，从左起第个区间的左端点处的函数值是
（4）。求和：=

2.布置课后作业
求曲线与直线围成的平面图形的面积。
答案：。

课后练习答案：1。C；2。B；3。；4。

五、板书设计
课题： 曲边梯形的面积
曲边梯形的定义：
特例：由直线x=1,y=0，:x轴与抛物线所围成的曲边梯形的面积.
求解过程:

小结：

教学反思
在第四周的星期三上午第二节我在高二（2）般上了一节汇报课，课题为定积分-----曲边梯形的面积。由数学组的老师听课并指导。
总的说来，我觉的这节可上的并不好，因为这节课主要讲数学中两个重要的思想：“以直代曲”和“逼近思想”，而这两个思想又都是比较抽象的，学生在听的过程中好象有些跟不上。在课件的处理上也不太好，我应该以第二个图形进行分析求曲边梯形的面积的“四步曲”，然后在用第一个图形来求解其面积；在用两个矩形来代替曲边梯形的面积是还要说明为什么要竖立的方式画矩形而不是水平方向画，这些是为了方便；在讲习题的时候不应强调极限，因为前面都没有学。在分割的时候求区间要注意用区间的长度。