广东省肇庆市高三第一次统测数学理试题解析版.doc

试卷类型：A
2019届广东省肇庆市高三第一次统测
数学（理）试题（解析版）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出集合B，然后根据并集的运算求解.
【详解】

故选A
【点睛】本题考查集合的并集运算，意在考查对集合基础知识的掌握情况，属于基础题.
2.已知复数满足,则=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由得，故选D．
考点复数运算．
视频

3.设，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出向量的坐标形式，根据向量数量积坐标运算法则即可求得.
【详解】 ，，

故选C
【点睛】本题考查向量的坐标形式及向量坐标形式数量积的运算，属于基础题型；在解题中，需要注意两点：一是向量坐标是终点坐标减去起点坐标；二是向量数量积的坐标运算中要注意是横坐标与横坐标的乘积加上纵坐标与纵坐标的乘积，最终结果是实数.
4.设复数满足为虚数单位），则复数=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】

先求出复数z，然后利用复数模的计算公式求复数的模.
【详解】 为虚数单位）

故选B
【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解z时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.
5.下列说法错误的是( )
A. 回归直线过样本点的中心
B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1
C. 对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小
D. 在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位
【答案】C
【解析】
根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．
6.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 12 B. 10 C. 8 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出可行域，结合目标函数的集合意义即可求得最大值.
【详解】如图为表示的区域，
...........................
目标函数变形为：
则目标函数的最大值即为直线在y轴上截距最大值的一半;
由图像可知，目标函数在点（2，1）取得最大值.
故选B
【点睛】本题考查目标函数最值求解，属于容易题，在解题中准确画出可行域和准确理解目标函数的几何意义是关键.
7. 如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（ ）

A. k≤6 B. k≤7 C. k≤8 D. k≤9
【答案】B
【解析】
试题分析：运行程序可知此时应当输出，也就是不满足判断框的内容，但满足，所以应选B.
考点：程序框图中的循环结构.
8.设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：命题甲等价于：若，则，若，则，命题乙等价于，∴甲是乙的必要不充分条件.
考点：1.解不等式；2.充分必要条件.
9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三视图复原出空间几何图形是三棱柱截取了一个三棱锥后的图形.
【详解】将三视图还原为空间图形，如图所示：

故选A
【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何题和补形是解题的关键，考查了空间想象力.
10.下列说法正确的是
A. “”是“”的充分不必要条件.
B. 若为假命题,则,均为假命题.
C. 命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.
D. 命题:使得,则: 均有.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据各选项所考查的知识点逐项分析；
A项用集合的观点判断充分不必要条件；
B项利用复合命题真值表判断；
C项是写出原命题的逆否命题，要先对条件和结论都进行否定然后写逆命题；
D项是对命题的否定.
【详解】A. “”是“”的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，正确；
B. 若为假命题,由 “且”命题真值表可知，p、q至少有一个为假，故错误；
C. 命题“若,则”的逆否命题应该是:“若”，故错误；
D. 命题:使得,的:，使得,故错误.
故选A
【点睛】本题考查的知识点较多，综合性较强，其中主要考查了充分条件复合命题的真假判断、四种命题的关系、特称命题以及简单命题的否定，需要熟练掌握，才可以灵活应用，解题中要认真审题，准确判断命题的真假是解决本题的关键，是基础题.
11.将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校，每所学校至少一人，且甲不去A学校，则不同的分配方法有
A. 72种 B. 108种 C. 180种 D. 360种
【答案】C
【解析】
【分析】
由于甲只能分到B、C、D三所学校，可以分类讨论，当甲分到B学校，有两种不同情况：（1）甲和其他四位老师中的一位分到同一个学校；（2）甲老师一个人分到其中一个学校，其他四位老师中的两位分到同一个学校甲分到C、D两个学校的情况同分到B学校相同.
【详解】当甲老师被分到B学校时，共有
当甲老师被分到C、D学校时和分到B学校情况一致，故共有180种不同的分法.
【点睛】本题考查了分步计数原理、分类计数原理和排列组合的知识，解题中运用了元素分析法，元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 若以元素分析先安排特殊元素，再处理其它元素.
12.如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是

A. 在内总存在与平面平行的线段
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 可能为直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：

当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.若随机变量ξ～N(2，1)，且，则＝________.
【答案】0.1587
【解析】
【分析】
根据随机变量ξ～N(2，1)，得到正态曲线关于x=2对称，由,即可求得概率.
【详解】随机变量ξ～N(2，1)
正态曲线关于x=2对称，

【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题中主要应用曲线的对称性求区间上的概率，是一个基础题.
14.的展开式中的系数是______.（用数字作答）.
【答案】120
【解析】
【分析】
先将分解因式，然后利用二项式定理展开，即可得展开式中的系数.
【详解】
由二项式定理可知的系数是：

的展开式中的系数是120.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、求展开式中某项的系数、二项式系数的性质,属于中档题.
15.从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则=______.
【答案】1.96
【解析】
【分析】
判断试验是独立重复试验的类型, 概率满足二项分布，然后根据二项分布方差公式求解方差即可.
【详解】由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则
DX=npq=np(1-p)
=100×0.02×0.98
=1.96
【点睛】本题考查二项分布期望的求法，判断概率的类型满足二项分布是解题的关键，本题是基础题.
16.如图，在中，，，若，则_____.

【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量、作为基向量,把向量表示出来，即可求出.
【详解】
即：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.如图，在四棱锥，，底面是直角梯形，，，是的中点，是上一点，且.

（1）证明：；
（2）若，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）证明，只需要在平面PAD内找到一条直线平行于CF即可，找PA的中点H，连接MD，只需证即可.
(2) 求三棱锥的体积可分为求底面积和三棱锥的高，底面可确定为三角形AGC，三棱锥的高由PD垂直于平面ABCD可知为PD的一半，即可求得三棱锥的体积.
【详解】(1)

取的中点，连接,
因为是的中位线，所以，
又因为,所以 ，所以四边形是平行四边形，
所以
又平面,平面，所以平面
（2）在,
又因为，易得，所以
又，且，所以平面
因为是的中点，所以到平面的距离

所以三棱锥的体积是
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明、三棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，能熟练应用线面平行、线面垂直的判定定理，注意培养空间思维能力.
18.每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
所需环保车辆（辆）
28
23
20
25
29

（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为
.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，
每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）．
参考公式：
【答案】（1） （2）需要租用35辆环保车，获得的利润为108500元
【解析】
【分析】
（1）利用表中所给数据，求出最小二乘法所需要的四个量，再利用线性回归方程计算公式分别求出即可得回归方程.
(2)利用回归方程先算出需要的车辆数，然后用主办方支付的总费用减去租车费用即为获得利润.
【详解】（1）

关于的线性回归方程
（2）将代入得
为确保完成任务，需要租用35辆环保车，
所以
获得的利润元
【点睛】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法准确解出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.

19.如图，在四棱锥中，平面 平面，底面是边长为2的正方形，且，.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）面面垂直只需证明线面垂直即证：
（2）建立空间直角坐标系，利用平面与面的法向量所成的夹角公式即可求出平面与平面
【详解】（Ⅰ）

证明：（1）因为平面面，平面平面，,
平面,所以平面
又平面，所以
又，，所以面
又面，所以平面平面
（2）取DC的中点O，连接MO，由DM＝MC得MO⊥DC。
又MO⊥BC，所以MO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系
则M（0，0，1），A（2，-1，0），B（2，1，0）
,.
设是平面MAB的一个法向量
则即可取，
是平面MCD的一个法向量

平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是
【点睛】本题考查面面垂直的判定和空间向量求二面角的应用，解题中，首先要熟练掌握线面、面面平行、垂直的判定、性质定理，其次利用空间向量解决立体几何问题，要合理建立直角坐标系，选取合理的法向量是解题的关键.
20.某工厂生产的某产品按照每箱10件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验.若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失100元.检验方案如下：
第一步，一次性随机抽取2件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若抽取的2件产品有且仅有1件合格，则进行第二步工作.
第二步，从剩下的8件产品中再随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若合格，则进行第三步工作.
第三步，从剩下的7件产品中随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验.
假设某箱该产品中有8件合格品，2件次品.
（Ⅰ）求该箱产品被检验通过的概率；
（Ⅱ）若每件产品的检验费用为10元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（Ⅱ）
X
20
40
120
130
140
P

【解析】
【分析】
(1)根据题意，产品被检验通过的情况有两种：第一步被检验通过和第三步被检验通过，两个事件是互斥事件，由即可求得.
(2)离散随机变量的分布列和期望，注意随机变量的取值与检验次数的关系.
【详解】（1）设“该箱产品”为事件A，设“该箱产品”为事件B
，
因为事件A与事件B互斥，
所以
该箱产品被检验通过的概率为
（Ⅱ）X可取20，40，120，130，140

所以X的分布列为
X
20
40
120
130
140
P

【点睛】本题考查随机事件的概率、分布列、数学期望的计算，是每年高考热点题型，属于中档题，解题中，必须条理清楚，分类讨论要做到不重不漏.
21.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，是的中点，是线段上异于端点的一点，平面 平面，.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析 （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）连接AC交BD与O，可证PA//平面BDM，再利用线面平行的性质定理和判定定理即可证得；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，由线面所成角的正弦值为可得G的位置，即可求出梯形PAHG的面积，然后可以求四棱锥的体积.
【详解】解：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接MO.
因为MO是△APC的中位线，所以MO//PA
又PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA//平面MBD
又因为平面GAP∩平面BDM＝GH，PA平面GAP，所以PA//GH
又GH平面PAD，PA面PAD，所以GH//平面PAD
（2）如图建立空间直角坐标系.依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1）

因为G在DM上，所以可设G（0，t，t），（0＜t＜1）

设是平面GAP的一个法向量，则
即，
可取
若PD与平面GAP所成的角为α，
则
解得，则G是线段DM的中点
D到平面GAP的距离为
由（1）知MO//PA，PA//GH，所以MO//GH，所以H也是DO的中点，
经计算得
梯形PAHG的高为，面积为
四棱锥D-PAHG的体积
【点睛】本题考查线面平行的判断、性质、空间几何体体积的求解方法以及空间向量的应用，是高考考查的重点题型之一，综合性较强，有一定的难度，解题的关键有两个方面：一是准确作出辅助线，直接影响第一问的证明；二是利用法向量确定点G的位置，计算量较大.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，
请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）已知直线的参数方程，通过消参数化为直角坐标方程，曲线的极坐标方程利用公式： 即可以转化;
(2) 利用直线的参数t的几何意义和韦达定理即可求得斜率k.
【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为
当时，
的直角坐标方程为
当时，
的直角坐标方程为
（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
.①
因为曲线C截直线所得线段的中点（1，2）在C内，
所以①有两个解，设为，，则.
又由①得，
故，
于是直线的斜率k＝tanα＝－2.
【点睛】本题考查了直线的参数方程和曲线极坐标方程的应用，是高考考查选修内容的热点题型，意在考查基本公式的掌握和应用情况，解题中要注意利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以简化题目的计算.
23.选修4—5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
(1)绝对值不等式可以通过分类讨论去掉绝对值后求解;
(2)利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，使得最小值大于等于4，即可求得a的范围.
【详解】（1）当x≥2时，，∴x≤3，∴2≤x≤3；
当－1＜x＜2时，，∴－1＜x＜2；
当x≤－1时，，∴x≥2，∴－2≤x≤－1
综上所述：－2≤x≤3，
即不等式的解集为.
（2），且当x＝2时，等号成立.
故等价于，
由可得或，所以a的取值范围是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值函数性质的应用，属于基础题型，意在考查学生对这些知识的掌握情况和应用能力.