2017广州市九年级数学上期末模拟试卷有答案和解释.docx

2016-2017学年广东省广州市XX中学九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．点（2，�4）在反比例函数y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（2，4） B．（�1，�8） C．（�2，�4） D．（4，�2） 3．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为�2，则另一个根为（　　） A．5 B．�1 C．2 D．�5 4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0�9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A．y=（x�1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3 6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 7．若关于x的一元二次方程（k�1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（　　） A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm 　 二、填空题（共6题，每题3分，共18分.） 11．方程x2�3=0的根是　　． 12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　度． 13．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是　　． 14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=� （x�6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　　． 15．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧AB的长为　　． 16．已知2是关于x的方程：x2�2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是　　． 　 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）解方程2y2=3y （2）用配方法解方程：x2+6x+5=0． 18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． （1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积． 19．如图，⊙O的直径AB=10CM，弦长AC=6CM，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC的长； （2）求△ABD的面积． 20．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走． （1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 21．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线，试用树状图求他选到经过B2路线的概率． 22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD． （1）求证：AD=CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 23．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若⊙O的半径为 ，AD=2，求线段CE和GE的长． 24．已知抛物线y=ax2+bx�3经过（�1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 　
2016-2017学年广东省广州市XX中学九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误； D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误． 故选：B． 　 2．点（2，�4）在反比例函数y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　） A．（2，4） B．（�1，�8） C．（�2，�4） D．（4，�2） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】由点（2，�4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论． 【解答】解：∵点（2，�4）在反比例函数y= 的图象上， ∴k=2×（�4）=�8． ∵A中2×4=8；B中�1×（�8）=8；C中�2×（�4）=8；D中4×（�2）=�8， ∴点（4，�2）在反比例函数y= 的图象上． 故选D． 　 3．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为�2，则另一个根为（　　） A．5 B．�1 C．2 D．�5 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为�2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决． 【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为�2，设另一个根为m， ∴�2+m= ， 解得，m=�1， 故选B． 　 4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0�9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：∵共有10个数字， ∴一共有10种等可能的选择， ∵一次能打开密码的只有1种情况， ∴一次能打开该密码的概率为 ． 故选A． 　 5．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A．y=（x�1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位， ∴抛物线的解析式为y=x2+2�1，即y=x2+1． 故选C． 　 6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．70° 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠D=40°， ∴∠B=∠D=40°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°�40°=50°． 故选C． 　 7．若关于x的一元二次方程（k�1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k�1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根， ∴ ，即 ， 解得：k＜5且k≠1． 故选B． 　 8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　） A． B． C． D． 【考点】正多边形和圆． 【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积． 【解答】解：如图1， ∵OC=1， ∴OD=1×sin30°= ； 如图2， ∵OB=1， ∴OE=1×sin45°= ； 如图3， ∵OA=1， ∴OD=1×cos30°= ， 则该三角形的三边分别为： 、 、 ， ∵（ ）2+（ ）2=（ ）2， ∴该三角形是以 、 为直角边， 为斜边的直角三角形， ∴该三角形的面积是 × × = ， 故选：D． 　 9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象． 【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案． 【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y= 的图象在第二、四象限， 故选：B． 　 10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（　　） A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm 【考点】垂径定理的应用． 【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16�x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可． 【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， 设OF=x，则OM=16�x，MF=8， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2， 即：（16�x）2+82=x2， 解得：x=10． 故选：B． 　 二、填空题（共6题，每题3分，共18分.） 11．方程x2�3=0的根是　x=± 　． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值． 【解答】解：方程整理得：x2=3， 开方得：x=± ， 故答案为：x=± 　 12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　70　度． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）； 又∵∠BCD=110°， ∴∠BAD=70°． 故答案为：70． 　 13．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是　（�1，2）　． 【考点】二次函数的性质． 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y=x2+2x+3=x2+2x+1�1+3=（x+1）2+2， ∴抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是（�1，2）． 故答案为：（�1，2）． 　 14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=� （x�6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　y=� （x+6）2+4　． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【解答】解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4， 将（�12，0）代入得出，0=a（�12+6）2+4， 解得：a=� ， ∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=� （x+6）2+4． 故答案为：y=� （x+6）2+4． 　 15．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12 ，OP=6，则劣弧AB的长为　8π　． 【考点】切线的性质；弧长的计算． 【分析】连接OA、OB，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP= ，由锐角三角函数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果． 【解答】解：连接OA、OB， ∵AB为小⊙O的切线， ∴OP⊥AB， ∴AP=BP= ， ∵ = ， ∴∠AOP=60°， ∴∠AOB=120°，∠OAP=30°， ∴OA=2OP=12， ∴劣弧AB的长为： = =8π． 故答案为：8π． 　 16．已知2是关于x的方程：x2�2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是　14　． 【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m得到原方程为x2�8x+12=0，再解此方程得到得x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长． 【解答】解：把x=2代入方程得4�4m+3m=0，解得m=4， 则原方程为x2�8x+12=0，解得x1=2，x2=6， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， 所以△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14． 故答案为14． 　 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）解方程2y2=3y （2）用配方法解方程：x2+6x+5=0． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）先移项得到2y2�3y=0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法得到（x+3）2=4，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）2y2�3y=0， y（2y�3）=0， y=0或2y�3=0， 所以y1=0，y2= ； （2）x2+6x+9=4， （x+3）2=4， x+3=±2， 所以x1=�1，x2=�5． 　 18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． （1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积． 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算． 【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标； （2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可． 【解答】解：（1）所求作△A1B1C如图所示： 由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系， 则点A1的坐标为（�1，4），点B1的坐标为（1，4）；
（2）∵AC= = = ，∠ACA1=90° ∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为： S扇形CAA1+S△ABC = + ×3×2 = +3． 　 19．如图，⊙O的直径AB=10CM，弦长AC=6CM，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求BC的长； （2）求△ABD的面积． 【考点】圆周角定理． 【分析】（1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值． （2）求得AD和BD的长后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵AB是直径 ∴∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm ∴BC2=AB2�AC2=102�62=64 ∴BC= =8（cm）；
（2）∵CD平分∠ACB， ∴ = ， ∴AD=BD， 又∵在Rt△ABD中，AD2BD2=AB2 ∴AD2+BD2=102 ∴AD=BD= =5 （cm）． ∴△ABD的面积= ×（5 ）2=25． 　 20．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走． （1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式； （2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ （3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式； （2）把x=12×5=60代入，即可求得天数； （3）首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解． 【解答】解：（1）y= ；
（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y= =20（天） 答：20天运完；
（3）运了8天后剩余的垃圾是1200�8×60=720m3． 剩下的任务要在不超过6天的时间完成则每天至少运720÷6=120m3， 则需要的拖拉机数是：120÷12=10（辆）， 则至少需要增加10�5=5辆这样的拖拉机才能按时完成任务． 　 21．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．某同学随机挑选了一条从甲地到丁地的路线，试用树状图求他选到经过B2路线的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】直接利用已知结合树状图列举出所有的可能，进而求出答案． 【解答】解：如图所示：从甲地到丁地的路线，一共有12种可能， 选到经过B2路线的有4种情况，故选到经过B2路线的概率为： ． 　 22．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， = ，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD． （1）求证：AD=CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等． 【解答】证明：（1）在⊙O中， ∵ = ， ∴AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACB， ∴∠B=∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴AD=CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H， ∵ = ，OA为半径， ∴AH⊥BC， ∴BH=CH， ∵AD=AG， ∴DH=HG， ∴BH�DH=CH�GH，即BD=CG， ∵BD=AE， ∴CG=AE， ∵CG∥AE， ∴四边形AGCE是平行四边形． 　 23．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若⊙O的半径为 ，AD=2，求线段CE和GE的长． 【考点】切线的判定与性质． 【分析】（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线． 2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2 ，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE�2，利用勾股定理可求得CE的长；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值． 【解答】（1）证明：如图1，连接OE，OC； ∵CB=CEOB=OE，OC=OC ∴△OEC≌△OBC（SSS） ∴∠OBC=∠OEC 又∵DE与⊙O相切于点E ∴∠OEC=90° ∴∠OBC=90° ∴BC为⊙O的切线．
（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B ∴DA=DE，CE=CB， 设BC为x，则CF=x�2，DC=x+2， 在Rt△DFC中，（x+2）2�（x�2）2=（2 ）2， 解得：x= ， ∴CE=BC= ； ∵AD∥BG， ∴∠DAE=∠EGC， ∵DA=DE， ∴∠DAE=∠AED； ∵AD∥BG， ∵∠AED=∠CEG， ∴∠EGC=∠CEG， ∴CG=CE=CB= ， ∴BG=5， ∴AG= =3 ， 连接BE，S△ABG= AB•BG=AG•BE， ∴BE= ， 在Rt△BEG中，EG= = ． 　 24．已知抛物线y=ax2+bx�3经过（�1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出C点的坐标，有点（�1，0）、（3，0）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）将正比例函数解析式代入抛物线解析式中，找出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出“xA+xB=2+k，xA•xB=�3”，结合点O为线段AB的中点即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，将k的值代入一元二次方程中求出xA、xB，在代入一次函数解析式中即可得出点A、B的坐标； （3）假设存在，利用三角形的面积公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xA•xB=�3”，即可得出关于k的一元二次方程，结合方程无解即可得出假设不成了，从而得出不存在满足题意的k值． 【解答】解：（1）令抛物线y=ax2+bx�3中x=0，则y=�3， ∴点C的坐标为（0，�3）． ∵抛物线y=ax2+bx�3经过（�1，0），（3，0）两点， ∴有 ，解得： ， ∴此抛物线的解析式为y=x2�2x�3． （2）将y=kx代入y=x2�2x�3中得：kx=x2�2x�3， 整理得：x2�（2+k）x�3=0， ∴xA+xB=2+k，xA•xB=�3． ∵原点O为线段AB的中点， ∴xA+xB=2+k=0， 解得：k=�2． 当k=�2时，x2�（2+k）x�3=x2�3=0， 解得：xA=� ，xB= ． ∴yA=�2xA=2 ，yB=�2xB=�2 ． 故当原点O为线段AB的中点时，k的值为�2，点A的坐标为（� ，2 ），点B的坐标为（ ，�2 ）． （3）假设存在． 由（2）可知：xA+xB=2+k，xA•xB=�3， S△ABC= OC•|xA�xB|= ×3× = ， ∴（2+k）2�4×（�3）=10，即（2+k）2+2=0． ∵（2+k）2非负，无解． 故假设不成立． 所以不存在实数k使得△ABC的面积为 ． 　 25．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设yS△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQOPQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案． 【解答】（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， 在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP； （3）如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时， 则BQ=x+2，OE= ， ∴y= × •x，即y= （x+1）2� ， 又∵0≤x≤2， ∴当x=2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时， 则BQ=2�x，OE= ， ∴y= × •x，即y=� （x�1）2+ ， 又∵0≤x≤2， ∴当x=1时，y有最大值为 ； 综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；
2017年1月19日

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