初二数学解含字母的不等式组培优详细解析.doc

解含字母不等式（组）培优训练

一．选择题
1．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（　　）
A． B．a≤ C．≤a＜﹣1 D．a≥
3．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（　　）
A．27 B．18 C．15 D．12
4．已知非负数a，b，c满足条件a+b=7，c﹣a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（　　）
A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120
C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120
6．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（　　）
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
7．若x＞0，y＞0，且x+y=12．则 的最小值是　 　．
8．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

2．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．（试题来源：）
【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
【点评】解答此题要先求出不等式组的解集求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

3．不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（　　）
A． B．a≤ C．≤a＜﹣1 D．a≥
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据整数解是1，2，3，4得到关于a的不等式组，解不等式组即可求解．注意要根据a的正负分情况讨论．
【解答】解：不等式0≤ax+5≤4可化为

解得
（1）当a=0时，得0≤﹣1，不成立；
（2）当a＞0时，得﹣≤x≤﹣，因为不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以﹣≤1，﹣≥4，解得﹣5≤a≤﹣，与a＞0不符；
（3）当a＜0时，得﹣≤x≤﹣；因为不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，所以≤a＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

4．若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（　　）
A．27 B．18 C．15 D．12
【考点】C2：不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】根据不等式的基本性质判断．
【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+bc）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；
又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②
①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式a2+b2≥2ab．

5．已知非负数a，b，c满足条件a+b=7，c﹣a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c﹣a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
【解答】解：∵a，b，c为非负数；
∴S=a+b+c≥0；
又∵c﹣a=5；
∴c=a+5；
∴c≥5；
∵a+b=7；
∴S=a+b+c=7+c；
又∵c≥5；
∴c=5时S最小，即S最小=12，即n=12；
∵a+b=7；
∴a≤7；
∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a；
∴a=7时S最大，即S最大=19，即m=19；
∴m﹣n=19﹣12=7．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出S的最大值及最小值，难度较大．

6．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x．根据题意得（　　）
A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120
C．10x﹣5（20﹣x）＞120 D．10x﹣5（20﹣x）＜120
【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】小明答对题的得分：10x；小明答错题的得分：﹣5（20﹣x）．
不等关系：小明得分要超过120分．
【解答】解：根据题意，得
10x﹣5（20﹣x）＞120．
故选：C．
【点评】此题要特别注意：答错或不答都扣5分．
至少即大于或等于．

7．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（　　）
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

11．某射击运动爱好者在一次比赛中共射击10次，前6次射击共中53环（环数均是整数），如果他想取得不低于89环的成绩，第7次射击不能少于　6　环．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【分析】他想取得不低于89环的成绩，就是成绩要大于或等于89环，根据这个不等关系就可以列出不等式．
【解答】解：已知前6次射击共中53环，不低于89环，故89﹣53=36环
假设让最后3枪打最大值，则第7枪不得低于36﹣10×3=6环，如果少于6环，即使后面3枪都是10环，也不能打到89环．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；题目充分运用三个相似的等腰三角形的对应边成比例的性质解题，体现了形数结合的思想．

17．若x＞0，y＞0，且x+y=12．则 的最小值是　13　．
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】将代数式转化为+，理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵x+y=12，∴y=12﹣x，
原式可化为：=+，
即可理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值．
如图：的最小值即B′
C的长度．
∵B′C==13，
∴的最小值为13．
故答案为：13

【点评】本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧妙的转化为几何问题．

21．已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+cb|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．
【考点】C2：不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】此题可以根据绝对值的意义结合不等式的性质进行分析．
【解答】证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2
∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0
∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0
∴a+b+c=0．
【点评】一个数的绝对值和平方具有类似性，但出现绝对值时，可用平方求解．