2018高三数学理第三次联考试题广东省六校附答案.docx

2018届广东省六校第三次联考 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 的元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为 ， 故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以 的元素个数为1选B 2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设等差数列 的公差为 ， 由题意得 ，即 ，解得 选A 3. 若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） 由 得 ，平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0）， 当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由 ，解得 ，故点B的坐标为 ， 综上可得 ，故 的取值范围是 选D 4. 函数 的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ，由 得 ，则函数的定义域为 ， 函数 为奇函数，排除D 又 ，且 ，故可排除B ，且 ，故可排除C选A 5. 设函数 ，其中常数 满足 若函数 （其中 是函数 的导数）是偶函数，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ， 函数 为偶函数， 又 ， 选A 6. 执行下面的程序框图，如果输入的 分别为1，2，3，输出的 ,那么，判断框中应填入的条件为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依次执行程序框图中的程序，可得： ，满足条件，继续运行； ，满足条件，继续运行； ，不满足条件，停止运行，输出 故判断框内应填 ，即 选C 7. 已知 （ ， 为虚数单位），又数列 满足：当 时， ；当 ， 为 的虚部若数列 的前 项和为 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得 ， 当 时， ， 又 ， 故当 时， ， 当 时， 选C 8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量 满足条件： 与 的夹角为 ，且 ， 与 与的夹角为45.若 ，则 的值为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 由 知 为锐角，且 ，故 ， 点B,C的坐标为 ， 又 ， ， ，解得 ， 选B 9. 四面体 中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4， ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥 (如图所示)，其中 设长方体的三条棱长分别为 ，则有 （1）由 得 ，又 ， ，解得 （2）由 得 ，又 ， ，解得 综上可得 故 的取值范围是 选C 点睛： 由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法 10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种 【答案】A 【解析】分以下几种情况： 取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有 种不同的方法，故不同的放法有 种 取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为 种；取球后将两球放在袋子中的方法数有 种，所以不同的放法有 种 综上可得不同的放法有42种选A 11. 已知点 为双曲线 的右焦点，直线 与 交于 ， 两点，若 ，设 ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为 ，连 由于 四边形 为矩形，故 在 中， ， 由双曲线的定义可得 ， ， ， ， 即双曲线的离心率的取值范围是 选D 点睛： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 12. 已知 是函数 与 图象的两个不同的交点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 ，设 ，则 ， 当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，故 设 ，则 ， 在 上单调递增， ， ， ，故 ，且 在 上单调递减， ，即 由 ，得 ，故 在 上单调递增 设 ，可得函数 在 上单调递减， ，即 ， 又 ， ， ，即 ， ， 综上可得 ，即所求范围为 选D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 _ 【答案】 , 【解析】由定积分的运算性质可得 函数 是定义在 上的奇函数， 又 答案： 14. 已知函数 ，若 ，则函数 的图象恒过定点_ 【答案】 【解析】 ， 函数 图象的对称轴为 ， ，即 ， 在 中，令 ，则 函数 的图象恒过定点 答案： 15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为_ 【答案】 【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 正方体的棱长为2， , ， 该几何体的表面积为 答案： 16. 若函数 的图象上存在不同的两点 ， ，其中 使得 的最大值为0，则称函数 是“柯西函数”给出下列函数： ； ； ； . 其中是“柯西函数”的为 _（填上所有正确答案的序号） 【答案】 【解析】 设 ，由向量的数量积的可得 ，当且仅当向量 共线（ 三点共线）时等号成立故 的最大值为0时，当且仅当 三点共线时成立 所以函数 是“柯西函数”等价于函数 的图象上存在不同的两点 ，使得 三点共线 对于，函数 图象上不存在满足题意的点； 对于，函数 图象上存在满足题意的点； 对于，函数 图象上存在满足题意的点； 对于，函数 图象不存在满足题意的点 图 图 图 图 故函数 是“柯西函数” 答案： 点睛： （1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口 （2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分. 17. 设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 . ()求 的值； ()求数列 的通项公式. 【答案】() ， ， ；() . 【解析】试题分析： ()在 中，分别令 可得到 ，然后可得到 的值()先由 得到 ，再由 可得 ，故可得 ，因此得到数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公式 试题解析： （） ， ， ； ， ； ， （） ， ， -得， ， 又 也满足上式， ， ， -得 ， 又 ， 数列 是首项为3，公比为 的等比数列 ， 点睛： 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 在应用此结论解题时要注意：若当n1时，a1若适合 ，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合 ，则用分段函数的形式表示 18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理. ()若小店一天购进16份，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：份， ）的函数解析式； ()小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)小店一天购进16份这种食品， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？ 【答案】() ；()(i)答案见解析；(ii)17份. 【解析】试题分析： () 分 和 两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求()(i) 由题意知 的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润 的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得 的分布列和期望，比较 的大小可得选择的结论 试题解析： （）当日需求量 时，利润 ， 当日需求量 时，利润 ， 所以 关于 的函数解析式为 （）（i）由题意知 的所有可能的取值为62，71，80， 并且 ， ， 的分布列为： X 62 71 80 P 01 02 07 元 （ii）若小店一天购进17份食品， 表示当天的利润(单位：元)，那么 的分布列为 Y 58 67 76 85 P 01 02 016 054 的数学期望为 元 由以上的计算结果可以看出 ， 即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润 所以小店应选择一天购进17份 19. 如图，在四棱锥 中， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点 （）证明：平面 平面 ； （）求二面角 的余弦值 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析： （）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论（）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论 试题解析： 解法一：（）取 中点 ，连 ， ， ， 是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 平面 ， . 分别是 的中点， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （）由（）知 ， ， 是二面角 的平面角. , ， ， 在 中，根据余弦定理得 ， 二面角 的余弦值为 解法二：（） 是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， 是 的中点， ， ， . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ， ， ， ， ， 设 ，由 ， ， 可得 ， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 . （）由（）知， ， 设 是平面 的法向量， 由 ，得 ， 令 ，则 又 是平面 的法向量， ， 由图形知二面角 为钝角， 二面角 的余弦值为 . 20. 已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，点 满足 （）求椭圆 的方程； （）设直线 经过点 且与 交于不同的两点 、 ，试问：在 轴上是否存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标及定值；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2） ，定值为1. 【解析】试题分析： . ，根据此式的特点可得当 时， 为定值 试题解析： （）依题意得 、 ， ， ， 解得 ， ， ， 故椭圆 的方程为 （）假设存在满足条件的点 . 当直线 与 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 ， 由 消去 整理得 ， 设 、 ， 则 ， ， ， 要使对任意实数 ， 为定值，则只有 ， 此时 故在 轴上存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值 点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 （2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法 21. 已知函数 ，其中 （）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （）求最大的整数 ，使得对任意 ，不等式 恒成立 【答案】（1）不能（2） 【解析】试题分析： （）假设函数 的图象能与 轴相切设切点为 ，根据导数的几何意义得到关于 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论（）将不等式变形为 ,设 ，则问题等价于 对任意 恒成立，故只需函数 在R上单调递增，因此 在R上恒成立即可，由 可得 ，即为 成立的必要条件，然后再证 时， 即可得到结论 试题解析： （） ， 假设函数 的图象与 轴相切于点 ， 则有 ， 即 显然 ，将 代入方程 中可得 ， 方程 无解 故无论a取何值，函数 的图象都不能与 轴相切 （）由题意可得原不等式可化为 ， 故不等式 在R上恒成立 设 ，则上式等价于 ， 要使 对任意 恒成立， 只需函数 在 上单调递增， 在 上恒成立 则 ，解得 ， 在 上恒成立的必要条件是： 下面证明：当 时， 恒成立 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 ，即 则当 时， ， ； 当 时， ， 恒成立 所以实数 的最大整数值为3 点睛： （1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立 （2）解答本题的关键是构造函数 ，将问题转化为函数 单调递增的问题处理，然后转化为 恒成立，可求得实数a的值 （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 ， 分别与曲线 交于 三点（不包括极点 ）. ()求证： ； ()当 时，若 两点在直线 上，求 与 的值. 【答案】()证明见解析；() . 【解析】试题分析： ()由曲线C的极坐标方程可得点 的极径，即得到 ，计算后即可证得结论正确()根据 可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得 与 的值 试题解析： （）证明：依题意， ， ， ， 则 （）当 时， 两点的极坐标分别为 ， ， 故两点的直角坐标为 ， . 所以经过点 的直线方程为 ， 又直线 经过点 ，倾斜角为 ， 故 ， 23. 已知函数 . ()若 ，求实数 的取值范围； ()若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】() ；() . 【解析】试题分析： （）由 可得 ，根据分类讨论法解不等式组即可（）根据绝对值的几何意义求得 的最小值为 ，由 可得实数 的取值范围 试题解析： （）由 可得， ， 当 时，不等式化为 ，解得 ， ； 当 时，不等式化为 ，解得 ， ； 当 时，不等式化为 ，解得 ， . 综上实数 的取值范围是 （）由 及绝对值的几何意义可得， 当 时， 取得最小值 不等式 恒成立， ，即 ， 解得 或 实数 的取值范围是 .20 20