2018高三数学理第三次联考试题广东省六校附答案.docx

2018届广东省六校第三次联考 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 为实数，且 ， 为实数，且 ，则 的元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为 ， 故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以 的元素个数为1．选B． 2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设等差数列 的公差为 ， 由题意得 ，即 ，解得 ． ∴ ．选A． 3. 若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）． 由 得 ，平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0），∴ ．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由 ，解得 ，故点B的坐标为 ， ∴ ．综上可得 ，故 的取值范围是 ．选D． 4. 函数 的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ，由 得 ，则函数的定义域为 ． ∵ ， ∴函数 为奇函数，排除D． 又 ，且 ，故可排除B． ，且 ，故可排除C．选A． 5. 设函数 ，其中常数 满足 ．若函数 （其中 是函数 的导数）是偶函数，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ， ∵函数 为偶函数， ∴ ． 又 ， ∴ ．选A． 6. 执行下面的程序框图，如果输入的 分别为1，2，3，输出的 ,那么，判断框中应填入的条件为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依次执行程序框图中的程序，可得： ① ，满足条件，继续运行； ② ，满足条件，继续运行； ③ ，不满足条件，停止运行，输出 ．故判断框内应填 ，即 ．选C． 7. 已知 （ ， 为虚数单位），又数列 满足：当 时， ；当 ， 为 的虚部．若数列 的前 项和为 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得 ， ∴当 时， ， 又 ， 故当 时， ， ∴当 时， ． ∴ ．选C． 8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量 满足条件： 与 的夹角为 ，且 ， 与 与的夹角为45°.若 ，则 的值为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 由 知 为锐角，且 ，故 ， ． ∴点B,C的坐标为 ， ∴ ． 又 ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∴ ．选B． 9. 四面体 中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4， ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥 (如图所示)，其中 ． 设长方体的三条棱长分别为 ，则有 ． （1）由② ③得 ，又 ， ∴ ，解得 ． （2）由② ③得 ，又 ， ∴ ，解得 ． 综上可得 ．故 的取值范围是 ．选C． 点睛： 由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法． 10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种 【答案】A 解析】分以下几种情况： ①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有 种不同的方法，故不同的放法有 种． ②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为 种；取球后将两球放在袋子中的方法数有 种，所以不同的放法有 种． 综上可得不同的放法有42种．选A． 11. 已知点 为双曲线 的右焦点，直线 与 交于 ， 两点，若 ，设 ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为 ，连 ．由于 四边形 为矩形，故 ． 在 中， ， 由双曲线的定义可得 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．即双曲线的离心率的取值范围是 ．选D． 点睛： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12. 已知 是函数 与 图象的两个不同的交点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 ，设 ，则 ， ∴当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，故 ． 设 ，则 ， ∴ 在 上单调递增， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ∵ ，故 ，且 在 上单调递减， ∴ ，即 ． 由 ，得 ，故 在 上单调递增． ∴ ． 设 ，可得函数 在 上单调递减， ∴ ，即 ， 又 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 综上可得 ，即所求范围为 ．选D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 __________． 【答案】 , 【解析】由定积分的运算性质可得 ． ∵函数 是定义在 上的奇函数， ∴ ． 又 ． ∴ ． 答案： 14. 已知函数 ，若 ，则函数 的图象恒过定点___． 【答案】 【解析】∵ ， ∴函数 图象的对称轴为 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 在 中，令 ，则 ． ∴函数 的图象恒过定点 ． 答案： 15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ． ∵正方体的棱长为2， ∴ , ∴ ， ∴该几何体的表面积为 ． 答案： 16. 若函数 的图象上存在不同的两点 ， ，其中 使得 的最大值为0，则称函数 是“柯西函数”．给出下列函数： ① ； ② ； ③ ； ④ . 其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 【答案】① ④ 【解析】 设 ，由向量的数量积的可得 ，当且仅当向量 共线（ 三点共线）时等号成立．故 的最大值为0时，当且仅当 三点共线时成立． 所以函数 是“柯西函数”等价于函数 的图象上存在不同的两点 使得 三点共线． 对于①，函数 图象上不存在满足题意的点； 对于②，函数 图象上存在满足题意的点； 对于③，函数 图象上存在满足题意的点； 对于④，函数 图象不存在满足题意的点． 图① 图② 图③ 图④ 故函数① ④是“柯西函数”． 答案：① ④ 点睛： （1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口． （2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17. 设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 . (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)求数列 的通项公式. 【答案】(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析： (Ⅰ)在 中，分别令 可得到 ，然后可得到 的值．(Ⅱ)先由 得到 ，再由 可得 ，故可得 ，因此得到数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公式． 试题解析： （Ⅰ）∵ ， ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ． （Ⅱ）∵ … ① ， ∴ …②， ∴①-②得， ， 又 也满足上式， ∴ …③ ， ∴ …④， ③-④得 ， ∴ ． 又 ， ∴数列 是首项为3公比为 的等比数列． ∴ ， ∴ ． 点睛： 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合 ，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合 ，则用分段函数的形式表示． 18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理. (Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：份， ）的函数解析式； (Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)小店一天购进16份这种食品， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？ 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份. 【解析】试题分析： (Ⅰ) 分 和 两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i) 由题意知 的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润 的所有可能取值为5867,76,85，分别求得概率后可得 的分布列和期望，比较 的大小可得选择的结论． 试题解析： （Ⅰ）当日需求量 时，利润 ， 当日需求量 时，利润 ， 所以 关于 的函数解析式为 ． （Ⅱ）（i）由题意知 的所有可能的取值为62，71，80， 并且 ， ， ． ∴ 的分布列为： X 62 71 80 P 0．1 0．2 0．7
∴ 元． （ii）若小店一天购进17份食品， 表示当天的利润(单位：元)，那么 的分布列为 Y 58 67 76 85 P 0．1 0．2 0．16 0．54
∴ 的数学期望为 元． 由以上的计算结果可以看出 ， 即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润． ∴所以小店应选择一天购进17份． 19. 如图，在四棱锥 中， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析： （Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论． 试题解析： 解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是平行四边形， ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∴ . ∵ 分别是 的中点， ∴ ∥ ， ∥ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， ∴ 是二面角 的平面角. , ， ， 在 中，根据余弦定理得 ， ∴二面角 的余弦值为 ． 解法二：（Ⅰ）∵ 是平行四边形， ， ，∴ ， ∴ 是等边三角形，∵ 是 的中点， ∴ ，∵ ∥ ， ∴ . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ， ， ， ， ， 设 ，由 ， ， 可得 ， ， ， ∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ． 设 是平面 的法向量， 由 ，得 ， 令 ，则 ． 又 是平面 的法向量， ∴ ， 由图形知二面角 为钝角， ∴二面角 的余弦值为 . 20. 已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，点 满足 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 经过点 且与 交于不同的两点 、 ，试问：在 轴上是否存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ，定值为1. 【解析】试题分析： ....................................... ，根据此式的特点可得当 时， 为定值． 试题解析： （Ⅰ）依题意得 、 ， ， ∴ ， 解得 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）假设存在满足条件的点 . 当直线 与 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 ， 由 消去 整理得 ， 设 、 ， 则 ， ， ∵ ， ∴要使对任意实数 ， 为定值，则只有 ， 此时 ． 故在 轴上存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值 ． 点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法． 21. 已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数 ，使得对任意 ，不等式 恒成立． 【答案】（1）不能（2） 【解析】试题分析： （Ⅰ）假设函数 的图象能与 轴相切．设切点为 ，根据导数的几何意义得到关于 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为 ,设 ，则问题等价于 对任意 恒成立，故只需函数 在R上单调递增，因此 在R上恒成立即可，由 可得 ，即为 成立的必要条件，然后再证 时， 即可得到结论． 试题解析： （Ⅰ）∵ ， ∴ ． 假设函数 的图象与 轴相切于点 ， 则有 ， 即 ． 显然 ，将 代入方程 中可得 ． ∵ ， ∴方程 无解． 故无论a取何值，函数 的图象都不能与 轴相切． （Ⅱ）由题意可得原不等式可化为 ， 故不等式 在R上恒成立． 设 ，则上式等价于 ， 要使 对任意 恒成立， 只需函数 在 上单调递增， ∴ 在 上恒成立． 则 ，解得 ， ∴ 在 上恒成立的必要条件是： ． 下面证明：当 时， 恒成立． 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． ∴ ，即 ． 则当 时， ， ； 当 时， ， ． ∴ 恒成立． 所以实数 的最大整数值为3． 点睛： （1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立． （2）解答本题的关键是构造函数 ，将问题转化为函数 单调递增的问题处理，然后转化为 恒成立，可求得实数a的值． （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 ， 分别与曲线 交于 三点（不包括极点 ）. (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)当 时，若 两点在直线 上，求 与 的值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) . 【解析】试题分析： (Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点 的极径，即得到 ，计算后即可证得结论正确．Ⅱ)根据 可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得 与 的值． 试题解析： （Ⅰ）证明：依题意， ， ， ， 则 ． （Ⅱ）当 时， 两点的极坐标分别为 ， ， 故两点的直角坐标为 ， . 所以经过点 的直线方程为 ， 又直线 经过点 ，倾斜角为 ， 故 ， ． 23. 已知函数 . (Ⅰ)若 ，求实数 的取值范围； (Ⅱ)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】试题分析： （Ⅰ）由 可得 ，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得 的最小值为 ，由 可得实数 的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）由 可得， ， ①当 时，不等式化为 ，解得 ， ∴ ； ② 当 时，不等式化为 ，解得 ， ∴ ； ③ 当 时，不等式化为 ，解得 ， ∴ . 综上实数 的取值范围是 ． （Ⅱ）由 及绝对值的几何意义可得， 当 时， 取得最小值． ∵不等式 恒成立， ∴ ，即 ， 解得 或 ． ∴ 实数 的取值范围是 .

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