2014高三数学一模理试题揭阳市附答案.docx

绝密启用前 揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试 数学(理科) 2014.3.22 本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数z满足：，则 A1 B2 C D5 2设函数的定义域为，函数的定义域为，则 A. B. C. D. 3设平面、，直线、，则“” 是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4下列函数是偶函数，且在上单调递增的是 A. B. C. D. 5一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的 体积为 A. B. C. D. 6如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值 相等的x值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7设点是函数图象上的任意一点， 点 ()，则|的最小值为 A. B. C. D.8定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集A的元素个数，给出下列命题：对于任意集合A，都有；存在集合A，使得；用表示空集，若则；若则；若则其中正确的命题个数为 A4 B3 C2 D1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（913题） 9若点在函数的图象上，则tan的值 为 10根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如 图(3)所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h120 km/h，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 11已知向量、满足，且，则与的夹角为 12已知首项为正数的等差数列中，则当取最大值时，数列的公差 13从中任取一个数x，从中任取一个数y，则使的概率为 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)来已知直线（为参数且）与曲线(是参数且)，则直线与曲线的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB 延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DEAB，垂足为E， 且E是OB的中点，则BC的长为 三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分12分） 已知函数 （1）求函数的定义域和最小正周期； （2）若求的值17. （本小题满分12分） 图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天 （1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率; （2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望 18（本小题满分14分） 如图(6)，四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱SA底面ABCD， 过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面 AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2 （1）设点P是SA上任一点，试求的最小值； （2）求证：E、H在以AK为直径的圆上； （3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值19（本小题满分14分） 已知正项数列满足:，数列的前项和为，且满足， (1) 求数列和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：20（本小题满分14分） 如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O， 且，|BC|2|AC| (1)求椭圆E的方程； (2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？ 若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由 （3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条 切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值 21（本小题满分14分） 已知函数 （1）当且时，证明：； （2）若对，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明：揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题：DCBD DCCB 解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为 6由框图知，x与y的函数关系为，由得 若，则或，若，则，若，显然，故满足题意的x值有0,1,3，故选C. 7如图示，点P在半圆C上，点Q在直线上，过圆心 C作直线的垂线，垂足为A，则,故选C. 8由的定义可知、正确，又若则，设则所以错误，正确，故选B。 二、填空题：9；1015、0.0175；11；12-3；13；14（1，3）; 15. . 解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有（辆），x的值=. 11.由得 ， 12.设数列的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。 13.如右图，使是图中阴影部分，故所求的概率 14把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为（1，3）【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得，进而得点坐标为（1，3）】 15DE为OB的中垂线且OD=OB，为等边三角形， 三.解答题： 16解：（1）由解得， 所以函数的定义域为-2分 -4分 的最小正周期-6分 （2）解法1：由-8分 且，-10分 -12分 解法2：由得， 代入得，-8分 ，又，-10分 -12分 17.解：设表示事件“此人于2月日到达该市”（ =1,2，12）. 依题意知,且.-2分 （1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则, 所以. 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.-5分 (2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，3且-6分 P(=0)=P(A4A8A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-7分 P(=2)=P(A2A11)= P(A2)+P(A11) =,-8分 P(=3)=P(A1A12)= P(A1)+P(A12) =,-9分 P(=1)=1P(=0)P(=2)P(=3)=,-10分 (或P(=1)=P(A3A5A6A7A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=) 所以的分布列为： 0 1 2 3 -11分故的期望-12分 18（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示， 则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的 最小值即线段BH的长，-1分 设,则， 在中，,-2分 在三角形BAH中，有余弦定理得：.-4分 （2）证明：SA底面ABCD，SABC，又ABBC， BC平面SAB，又平面SAB，EABC，-6分 又AESB，AE平面SBC ，-7分 又平面SBC，EAEK， -8分 同理 AHKH，E、H在以AK为直径的圆上-9分 （3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，-10分 则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AESC，AHSC，SC平面AEKH， 为平面AEKH的一个法向量，-11分 为平面ABCDF的一个法向量，-12分 设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为， 则-13分 平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值-14分 【方法二： 由可知,故, 又面AEKH， 面AEKH, 面AEKH. -10分 设平面AEKH平面ABCD=l，面AEKH， -11分 BDAC，AC， 又BDSA，BD平面SAC，又平面SAC， BDAK， AK， 为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，-13分平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为-14分】 19解：（1）由,得. -2分 由于是正项数列,所以.-3分 由可得当时，两式相减得，-5分 数列是首项为1，公比的等比数列，-7分 （2）-8分 方法一： -11分 -14分 【方法二：-11分-14分】 20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)， 设椭圆E的方程为-2分 由椭圆的对称性知|OC|OB| 又，|BC|2|AC| ACBC，|OC|AC| AOC为等腰直角三角形， 点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，1) ，-4分 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 所求的椭圆E的方程为-5分 （2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即点Q在直线上，-7分 点Q即直线与椭圆E的交点， 直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部， 满足条件的点Q存在，且有两个-9分 【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即，-7分 又点Q在椭圆E上，- 由式得代入式并整理得：，- 方程的根判别式， 方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个-9分】 （3）解法一：设点，由M、N是的切点知，, O、M、P、N四点在同一圆上，-10分 且圆的直径为OP,则圆心为， 其方程为，-11分 即- 即点M、N满足方程，又点M、N都在上， M、N坐标也满足方程- -得直线MN的方程为，-12分 令得，令得，-13分 ，又点P在椭圆E上， ，即=定值.-14分 【解法二：设点则-10分 直线PM的方程为化简得- 同理可得直线PN的方程为-11分 把P点的坐标代入、得 直线MN的方程为，-12分 令得，令得，-13分 ，又点P在椭圆E上， ，即=定值-14分】 21.（1）证明：要证，即证，-1分 令则-3分 在单调递增， ，即成立-4分 （2）解法一：由且可得-5分 令-6分 由（1）知-8分 函数在单调递增，当时， -9分【解法二：令，则，-5分 当时，函数在上是增函数，有，-6分 当时，函数在上递增，在上递减， 对，恒成立，只需，即-7分 当时，函数在上递减，对，恒成立，只需， 而，不合题意，-8分 综上得对，恒成立，-9分】 【解法三：由且可得-5分 由于表示两点的连线斜率，-6分 由图象可知在单调递减， 故当时，-8分 即-9分】 （3）当时，则， 要证，即证-10分 由（1）可知又 -11分 ，-13分 故得证-14分20 20