1、 绝密启用前 揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试 数学(理科) 2014.3.22 本试卷共4页,21小题,满分150分考试用时120分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的
2、整洁考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1若复数z满足:,则 A1 B2 C D5 2设函数的定义域为,函数的定义域为,则 A. B. C. D. 3设平面、,直线、,则“” 是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4下列函数是偶函数,且在上单调递增的是 A. B. C. D. 5一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的 体积为 A. B. C. D. 6如图(2)所示的程序框图,能使输入的x值与输出的y值 相等的x值个数为 A.1 B
3、.2 C.3 D.4 7设点是函数图象上的任意一点, 点 (),则|的最小值为 A. B. C. D.8定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集,记为,用表示有限集A的元素个数,给出下列命题:对于任意集合A,都有;存在集合A,使得;用表示空集,若则;若则;若则其中正确的命题个数为 A4 B3 C2 D1 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分 (一)必做题(913题) 9若点在函数的图象上,则tan的值 为 10根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图如 图(3)所示该路段限速标志牌提示机动车辆正
4、常行驶速 度为60 km/h120 km/h,则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆,图中的x值为 11已知向量、满足,且,则与的夹角为 12已知首项为正数的等差数列中,则当取最大值时,数列的公差 13从中任取一个数x,从中任取一个数y,则使的概率为 (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)来已知直线(为参数且)与曲线(是参数且),则直线与曲线的交点坐标为 . 15.(几何证明选讲选做)如图(4),AB是半圆的直径,C是AB 延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DEAB,垂足为E, 且E是OB的中点,则BC的长为 三解答题:本大
5、题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16(本小题满分12分) 已知函数 (1)求函数的定义域和最小正周期; (2)若求的值17. (本小题满分12分) 图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市,并停留3天 (1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (2)设是此人停留期间空气重度污染的天数,求的分布列与数学期望 18(本小题满分14分) 如图(6),四棱锥SABCD的底面是正方形,侧棱SA底面ABCD, 过A作AE垂
6、直SB交SB于E点,作AH垂直SD交SD于H点,平面 AEH交SC于K点,且AB=1,SA=2 (1)设点P是SA上任一点,试求的最小值; (2)求证:E、H在以AK为直径的圆上; (3)求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值19(本小题满分14分) 已知正项数列满足:,数列的前项和为,且满足, (1) 求数列和的通项公式; (2)设,数列的前项和为,求证:20(本小题满分14分) 如图(7)所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E 上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O, 且,|BC|2|AC| (1)求椭圆E的方程; (2) 在椭圆E上是否存点Q,使得? 若存在,有几
7、个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由 (3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条 切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:为定值 21(本小题满分14分) 已知函数 (1)当且时,证明:; (2)若对,恒成立,求实数的取值范围; (3)当时,证明:揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给
8、分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题:DCBD DCCB 解析:5.由三视图知,此组合体为一个长为4,宽为3,高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱,故其体积为 6由框图知,x与y的函数关系为,由得 若,则或,若,则,若,显然,故满足题意的x值有0,1,3,故选C. 7如图示,点P在半圆C上,点Q在直线上,过圆心 C作直线的垂线,垂足为A,则,故选C. 8由的定义可知、正确,又若则,设则所以错误,正确,故选B。 二、填空题:9;1015、0.0175
9、;11;12-3;13;14(1,3); 15. . 解析:10.由直方图可知,这100辆机动车中属非正常行驶的有(辆),x的值=. 11.由得 , 12.设数列的公差为,由得,则,因故,当且仅当,即“=”成立,这时取得最大值,由得,所以。 13.如右图,使是图中阴影部分,故所求的概率 14把直线的参数方程化为普通方程得,把曲线的参数方程化为普通方程得,由方程组解得交点坐标为(1,3)【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得,进而得点坐标为(1,3)】 15DE为OB的中垂线且OD=OB,为等边三角形, 三.解答题: 16解:(1)由解得, 所以函数的定义域为-2分 -4分 的最小正周期
10、-6分 (2)解法1:由-8分 且,-10分 -12分 解法2:由得, 代入得,-8分 ,又,-10分 -12分 17.解:设表示事件“此人于2月日到达该市”( =1,2,12). 依题意知,且.-2分 (1)设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则, 所以. 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.-5分 (2)由题意可知,的所有可能取值为0,1,2,3且-6分 P(=0)=P(A4A8A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-7分 P(=2)=P(A2A11)= P(A2)+P(A11) =,-8分 P(=3)=P(A1A12)= P(A1)+P(A12) =,-9分 P(=
11、1)=1P(=0)P(=2)P(=3)=,-10分 (或P(=1)=P(A3A5A6A7A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=) 所以的分布列为: 0 1 2 3 -11分故的期望-12分 18(1)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内,如右图示, 则当B、P、H三点共线时,取最小值,这时,的 最小值即线段BH的长,-1分 设,则, 在中,,-2分 在三角形BAH中,有余弦定理得:.-4分 (2)证明:SA底面ABCD,SABC,又ABBC, BC平面SAB,又平面SAB,EABC,-6分 又AESB,AE平面SBC ,-7分 又平面SBC
12、,EAEK, -8分 同理 AHKH,E、H在以AK为直径的圆上-9分 (3)方法一:如图,以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系如右图示,-10分 则S(0,0,2),C(1,1,0),由(1)可得AESC,AHSC,SC平面AEKH, 为平面AEKH的一个法向量,-11分 为平面ABCDF的一个法向量,-12分 设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为, 则-13分 平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值-14分 【方法二: 由可知,故, 又面AEKH, 面AEKH, 面AEKH. -10分 设平面AEKH平面ABCD=l,面A
13、EKH, -11分 BDAC,AC, 又BDSA,BD平面SAC,又平面SAC, BDAK, AK, 为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角,-13分平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为-14分】 19解:(1)由,得. -2分 由于是正项数列,所以.-3分 由可得当时,两式相减得,-5分 数列是首项为1,公比的等比数列,-7分 (2)-8分 方法一: -11分 -14分 【方法二:-11分-14分】 20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0), 设椭圆E的方程为-2分 由椭圆的对称性知|OC|OB| 又,|BC|2|AC| ACBC,|OC|AC|
14、 AOC为等腰直角三角形, 点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(1,1) ,-4分 将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得 所求的椭圆E的方程为-5分 (2)解法一:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则 即点Q在直线上,-7分 点Q即直线与椭圆E的交点, 直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部, 满足条件的点Q存在,且有两个-9分 【解法二:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则 即,-7分 又点Q在椭圆E上,- 由式得代入式并整理得:,- 方程的根判别式, 方程有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个-9分】 (3)解法一:设点,由M、N是的切点知,, O、M、P、N四点在同一圆上,-10分
15、且圆的直径为OP,则圆心为, 其方程为,-11分 即- 即点M、N满足方程,又点M、N都在上, M、N坐标也满足方程- -得直线MN的方程为,-12分 令得,令得,-13分 ,又点P在椭圆E上, ,即=定值.-14分 【解法二:设点则-10分 直线PM的方程为化简得- 同理可得直线PN的方程为-11分 把P点的坐标代入、得 直线MN的方程为,-12分 令得,令得,-13分 ,又点P在椭圆E上, ,即=定值-14分】 21.(1)证明:要证,即证,-1分 令则-3分 在单调递增, ,即成立-4分 (2)解法一:由且可得-5分 令-6分 由(1)知-8分 函数在单调递增,当时, -9分【解法二:令,则,-5分 当时,函数在上是增函数,有,-6分 当时,函数在上递增,在上递减, 对,恒成立,只需,即-7分 当时,函数在上递减,对,恒成立,只需, 而,不合题意,-8分 综上得对,恒成立,-9分】 【解法三:由且可得-5分 由于表示两点的连线斜率,-6分 由图象可知在单调递减, 故当时,-8分 即-9分】 (3)当时,则, 要证,即证-10分 由(1)可知又 -11分 ,-13分 故得证-14分20 20
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