3月高三数学联合考试试卷湖北理科附答案.docx

2017年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试 理 科 数 学 命题单位：荆门教研室 十堰教科院 审题单位：荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字�蚝凇Ｓ�2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。 4．考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，监考人员将答题卡收回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合 , ，则 等于 A． B． C． D． 2．设 为虚数单位，则复数 的虚部为 A. B. C. D. 3．在各项都为正数的数列 中,首项 ，且点( )在直线 上, 则数列 的前n项和 等于 A. B. C. D. 4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元） 广告费 2 3 4 5 6 销售额 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程为 ，据此模型，预测广告费为 万元时的销售额约为 A． B． C． D． 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例， 若输入 的值分别为 ，则输出 的值为 A．6 B．25 C．100 D．400 6．函数 的部分图象如图所示， 若 ， 且 ，则 A． 　 D．
7．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D 8．已知圆 ．设条件 ，条件 圆 上至多有 个点到直线 的距离为 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．从数字1，2，3 ，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位 数字之和等于12的概率为 A． B． C． D． 10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体 外接球的表面积为 A. B. C. D. 11．关于曲线C： ，给出下列四个命题： ①曲线C有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C上的点到原点距离的最小值为 ； ③曲线C的长度 满足 ； ④曲线C所围成图形的面积 满足 . 上述命题中，真命题的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知正三角形 的顶点 在抛物线 上，另一个顶点 ，则这样的正三角形有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 13．平面向量 不共线，且两两所成的角相等，若 ， 则 ▲ ． 14． 展开式中 的系数为 ▲ ． 15．已知实数 满足 则 的最小值为 ▲ ． 16．数列 满足 ，则 前 项的和 ▲ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分12分） 如图，已知 中，角 的对边 分别为 ， ． （Ⅰ）若 ，求 面积的最大值； （Ⅱ）若 ，求 .

18（本小题满分12分） 某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米 (四舍五入,精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出 频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右 前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14， 0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .
（Ⅰ）求进入决赛的人数； （Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记 表示两人中进入决赛的人数，求 的分布列及数学期望； (Ⅲ) 经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲,乙各跳一次，求甲比乙远的概率. 19（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，底面 是长方形，侧棱 底面 ，且 ，过D作 于F， 过F作 交 PC于E. （Ⅰ）证明： 平面PBC； （Ⅱ）求平面 与平面 所成 二面角的余弦值.
20（本小题满分12分） 在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点 ， ，且 ． （Ⅰ）求直线 与 交点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）过 的直线与轨迹C交于P,Q，过P作 轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若 ，求证： . 21（本小题满分12分） 函数 ， ． （Ⅰ）讨论 的极值点的个数； （Ⅱ）若对于 ，总有 .（i）求实数 的范围； （ii）求证：对于 ，不等式 成立．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 .若以极点 为原点，极轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求圆 的参数方程； （Ⅱ）在直角坐标系中，点 是圆 上动点，试求 的最大值，并求出此时点 的直角坐标.

23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ， ． （Ⅰ）解关于 的不等式 ； （Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
2017年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试 理科数学参考答案及评分说明 命题单位：荆门教研室 十堰教科院 审题单位：荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 一、选择题(共12小题，每小题5分) 1.B 2.D 3.A 4. C 5.C 6.D 7.B 8.C 9. A 10. B 11.A 12.D 二、填空题（共4小题，每小题5分） 13. 1 14. 15. 16.440 三、解答题 17(12分)解： （Ⅰ）由余弦定理得 , ………………………………………2分 ，当且仅当 时取等号； 解得 ， ………………………………………………………………………………………4分 故 ，即 面积的最大值为 .………………6分 （Ⅱ）因为 ，由正弦定理得 ，…………………………………………8分 又 ，故 ， ，…………………………………………10分 ， . ………………………………………………12分 18(12分)解： （Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴总人数为 (人). …………………………………………………………………2分 ∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) 即进入决赛的人数为36. …………………………………………………………………4分 （Ⅱ） =0,1,2,进入决赛的概率为 ∴ ～ ， ， ， .　……………………………6分　　　　　　 X 0 1 2 P
所求分布列为
，两人中进入决赛的人数的数学期望为 . ………………………8分 (Ⅲ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为 、 米，则基本事件满足的区域为 ， 事件 “甲比乙远的概率”满足的区域为 ，如图所示. …………………………10分
∴由几何概型 . 即甲比乙远的概率为 . ……………………12分 19(12分)解： 解法一：（Ⅰ）因为 底面 ，所以 ， 由底面 为长方形，有 ，而 ， 所以 . 而 ，所以 . ………………………2分 又因为 ， 所以 平面 . 而 ，所以 . ………………………4分 又 ， ，所以 平面 . ………………………6分 （Ⅱ）如图1，在面 内，延长 与 交于点 ，则 是平面 与平面 的交线. 由（Ⅰ）知， ，所以 . ………………………8分 又因为 底面 ，所以 . 而 ，所以 . 故 是面 与面 所成二面角的平面角， ………………………10分 在Rt△PDB中, 由 , 故面 与面 所成二面角的余弦为 . ………………………12分 解法二：如图2, 由 ， 所以 是平面 的一个法向量； ……………………………………8分 由（Ⅰ）知， ， 所以 是平面 的一个法向量 ……………………………………10分 设平面 与平面 所成二面角为 则 ， 故面 与面 所成二面角的余弦为 . ……………………………………12分

20(12分)解： （Ⅰ）依题意知直线A1N1的方程为 ① 直线A2N2 的方程为 ②………………………………2分 设M(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得 , 由mn＝2，整理得 ； ………………………………4分 （Ⅱ）设 ， 由 （ ） ………………………………6分 由 故 , ………………8分 要证 ,即证 ,只需证： 只需 即证 即 ,………10分 由（ ）得： ，即证. ……………………12分 （本题亦可先证直线NQ过焦点F，再由 得证） 21(12分)解： （Ⅰ）解法一：由题意得 ， 令 （1）当 ，即 时， 对 恒成立 即 对 恒成立，此时 没有极值点；…………2分 （2）当 ，即 ① 时，设方程 两个不同实根为 ，不妨设 则 ，故 ∴ 时 ；在 时 故 是函数 的两个极值点. ② 时，设方程 两个不同实根为 ， 则 ，故 ∴ 时， ；故函数 没有极值点. ……………………………4分 综上，当 时，函数 有两个极值点； 当 时，函数 没有极值点. ………………………………………5分 解法二： , …………………………………………1分 , ①当 ，即 时， 对 恒成立， 在 单调增， 没有极值点； ……………………………………………………………3分 ②当 ，即 时，方程 有两个不等正数解 ， 不妨设 ，则当 时， 增； 时， 减； 时， 增，所以 分别为 极大值点和极小值点， 有两个极值点. 综上所述，当 时， 没有极值点； 当 时， 有两个极值点. ………………………………5分 （Ⅱ）（i） ， 由 ，即 对于 恒成立，设 ， ， ， 时， 减， 时， 增， ， ． ……………………………………9分 （ii）由（i）知，当 时有 ，即： ， ……①当且仅当 时取等号, ……………………………10分 以下证明： ，设 ， ， 当 时 减， 时 增， ， ，……②当且仅当 时取等号； 由于①②等号不同时成立，故有 .……………………………12分 第22、23题为选考题 22(10分)解： （Ⅰ）因为 ， 所以 ， 即 为圆C的普通方程． ……………………………………3分 所以所求的圆C的参数方程为 ( 为参数) …………………………5分 （Ⅱ） 解法一：设 ，得 代入 整理得 (*)，则关于 方程必有实数根 …………7分 ∴ ，化简得 解得 ，即 的最大值为11. …………………………………………9分 将 代入方程(*)得 ，解得 ，代入 得 故 的最大值为11时，点 的直角坐标为 . ………………………10分 解法二：由（Ⅰ）可得，设点 , , 设 ，则 ，所以 当 时， ，……………………………………………………8分 此时， , 即 ，所以 ， 点 的直角坐标为 . ……………………………………………………10分 23(10分)解： （Ⅰ）由 ，得 , 即 或 , ……………………………………………………3分 或 .故原不等式的解集为 …………………………………5分 （Ⅱ）由 ，得 对任意 恒成立, 当 时，不等式 成立, 当 时，问题等价于 对任意非零实数恒成立, ………………………7分 ,即 的取值范围是 .…………………10分

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