2018高三数学文联考试卷天津市滨海新区含答案.docx

2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。 参考公式： 圆柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高 锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面面积， 表示锥体的高 第I卷（选择题，共40分） 一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1.已知全集 ,集合 ,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.实数 满足不等式组 则目标函数 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3.执行如图1所示的程序框图,若输入 的值为3,则输出 的值是（ ） A.1 B. 2 C. 4 D.7 4.若 ， ,则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象 ( ) A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 7.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 , 两点, 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 , 的面积为 , 则抛物线的焦点为 ) A. ( ) B.（ ） C. D. 8.已知函数 ,若存在 ，使得关于 的函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分) 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上. 9.已知 是虚数单位，则 ． 10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 11.等比数列 中，各项都是正数，且 , , 成等差数列，则 = ． 12.设直线 与圆 相交于 两点,若 ,则 ． 13.已知正实数 满足 且 ,则 的最小值为___________. 14.已知菱形 的边长为2, ,点 、 分别在边 上, ， ,若 , 则 的最小值 ．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分13分）从高三学生中抽取 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 ,且成绩在区间 的学生人数是 人, （1）求 的值； （2）若从数学成绩（单位：分）在 的学生中随机选取 人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果； ②设选取的 人中,成绩都在 内为事件 ,求事件 发生的概率.
16．（本题满分13分）锐角 中, 分别为角 的对边, ， （1）若 求 的面积； （2）求 的值.
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥 中，底面 的边长是2的正方形， , , 且 . （1）求证: ; （2）求证:平面 平面 ; （3）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．(本题满分13分)已知 ,椭圆 的离心率 , 是椭圆 的右焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 相交于 , 两点,当 的面积最大时,求直线 的方程. 19. (本题满分14分)已知数列 的前 项和为 ,满足 ( ),数列 满足 ( ),且 （1）证明数列 为等差数列,并求数列 和 的通项公式; （2）若 ,求数列 的前 项和 ; （3）若 ,数列 的前 项和为 ,对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.
20． (本题满分14分)已知函数 （其中 , ）. （1）当 时,求函数 在 点处的切线方程; （2）若函数 在区间 上为增函数,求实数 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数 ,都有 . 2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（文科）评分标准 一、选择题：C B C D A B D B 二、填空题： 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题： 15.（本题满分13分）从高三学生中抽取 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 ,且成绩在区间 的学生人数是 人, （1）求 的值； （2）若从数学成绩（单位：分）在 的学生中随机选取 人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果； ②设选取的 人中,成绩都在 内为事件 , 求事件 发生的概率.
解：(1)由直方图可得成绩分布在区间的频率为 ............. 2分 样本容量 ............ 4分 (2) ①成绩在区间 共有 人记为 成绩在区间 共有 人记为 ............ 5分
则从中随机选取 人所有可能的抽取结果共有 种情况； ............ 9分
② “从上述5人中任选 人，都来自 分数段”为事件A; 则事件A包含的基本事件有 ............ 11分
故所求概率 ............ 13分
16．（本题满分13分）锐角 中, 分别为角 的对边, ， （1）若 求 的面积； （2）求 的值. 解：(1) ……………1分 ……………2分 ……………3分 是锐角 ……………4分 ……………5分 由余弦定理 ， 得 ， ∴ ，……………6分 则 ……………7分 （2） ，……………9分 ……………11分 …13分
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥 中，底面 的边长是2的正方形， , , 且 . （1）求证: ; （2）求证:平面 平面 ; （3）求直线 与平面 所成角的正弦值.
证明：（1） ……………………1分 ……………………2分 ……………………3分 (2) …………………4分 …………………5分 …………………6分 (3)取 的中点 ,连接 , , , …………………7分 ……………………8分 ……………………9分 ……………………10分 在等腰 ， 是 中点 ……………………11分 在 ……………………12分 ……………………13分 18．(本题满分13分) 已知 ,椭圆 的离心率 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点。 （1）求椭圆的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程。 解：(Ⅰ)设 ，由条件知， ，……………1分 又 ，……………3分 故椭圆 的方程为 ；……………4分 (Ⅱ)当 轴时，不合题意，故可设 ， ，……………5分 ，……………6分 设 ， ， ，……………7分 ……………8分 又点 到直线 的距离 ，……………9分
∴△OPQ的面积 ，……………10分 设 ，则 ， ∴ ，……………11分 当且仅当 ，即 时等号成立，……………12分 满足 ，∴当 时，△OPQ的面积取得最大值2，此时直线 的方程为 或 .……………13分 19. (本题满分14分)已知数列 的前 项和为 ,满足 ( ),数列 满足 ( ),且 （1）证明数列 为等差数列,并求数列 和 的通项公式; （2）若 ，求数列 的前 项和 ; （3）若 ,数列 的前 项和为 ,对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.
试题解析：（1）由 两边同除以 ， 得 ，………………………………………1分 从而数列 为首项 ，公差 的等差数列，所以 ， 数列 的通项公式为 ．…………………2分
当 时， ，所以 ．……………3分 当 时， ， ， 两式相减得 ，又 ，所以 ， 从而数列 为首项 ，公比 的等比数列， 从而数列 的通项公式为 ．……………4分
(2) …………5分 …………6分 = …………7分 …………8分 （3）由（1）得 ，…………9分 ， 所以， 两式相减得 所以 ，…………11分 由（1）得 ， 因为对 ，都有 即 恒成立， 所以 恒成立，…………12分 记 ，所以 ， 因为 ，从而数列 为递增数列……… …13分 所以当 时， 取最小值 ，于是 ． …………14分
20． (本题满分14分)已知函数 （其中 , ）. （1）当 时,求函数 在 点处的切线方程; （2）若函数 在区间 上为增函数,求实数 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数 ,都有 .
解（1） ， ……………………1分 ……………………2分 ……………………3分 ……………………4分 （2） ， ……………………5分 函数 在 上为增函数， 对任意 恒成立. ……………………6分 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立. ……………………7分 时， ， ，即所求正实数 的取值范围是 . ……………………8分 （3）当 时， ， ， 当 时， ， 故 在 上是增函数. ……………………9分 当 时，令 ，则当 时， . ……………………10分 所以 ，……………………11分 所以 ， ，……………………12分 所以 ，……………………13分 即 ， 所以 ， 即对于任意大于1的正整数 ，都有 .……………………14分

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