2014金山中学高三数学上学期期中试题理科附答案.docx

2014-2015学年金山中学高三数学上学期期中试题（理科附答案） 第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合 ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 2．已知 角的终边均在第一象限，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数周期为 ，其图像的一条对称轴是 ，则此函数的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 4．设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 成立的是（ ） A． B． C． D． 5．方程 的根存在的大致区间是（ ） A． 　　 B． C． D． 6．已知向量 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ） A． 　　 B． C． D． 8．设向量 ， ，定义一种向量积： ．已知向量 ， ，点P在 的图象上运动，点Q在 的图象上运动，且满足 （其中O为坐标原点），则 在区间 上的最大值是（ ） A．2 B． C． D． 4
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分） 二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分，共30分.) （一）必做题（9～13题） 9．函数 的定义域为 。 10．图中阴影部分的面积等于 ． 11．已知函数 在 是单调函数，则实数 的取值范围是 。 12．如图，在矩形 中， 点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 ．
13．已知函数 ,在区间 内任取两个实数 ,且 ,若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 。
（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分） 14．（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点， ，则 = 。
15．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为 ，曲线C的参数方程为 ( 为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分） 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
0
0 0 0 （1）请写出上表的 、 、 ，并直接写出函数的解析式； （2）将 的图象沿 轴向右平移 个单位得到函数 的图象， 、 分别为函数 图象的最高点和最低点（如图），求 的大小.
17．（本小题满分12分） 设函数 （1）求 的最大值，并写出使 取最大值时 的集合； （2）已知 中，角 的对边分别为 若 ，求 的最小值。
18．（本小题满分14分） 已知函数 ， ， 图象与 轴异于原点的交点 处的切线为 ， 与 轴的交点 处的切线为 ，并且 与 平行。 （1）求 的值； （2）已知实数 ，求 的取值范围及函数 的最值。
19．（本小题满分14分） 已知数列 的前 项和为 ，且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）数列 中，令 ， ，求 ； （3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。令 （ 为正整数），求数列 的变号数．
20．（本小题满分14分） 如图，已知抛物线 的准线为 ，焦点为 ，圆 的圆心在 轴的正半轴上，圆 与 轴相切，过原点 作倾斜角为 的直线 ，交直线 于点 ，交圆 于不同的两点 ，且 。 （1）求圆 和抛物线 的方程； （2）若 为抛物线 上的动点，求 的最小值； （3）过直线 上的动点 向圆 作切线，切点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点，并求该定点的坐标． 21．（本小题满分14分） 已知函数 ， ， 是常数． （1）求函数 的图象在点 处的切线方程； （2）若函数 图象上的点都在第一象限，试求常数 的取值范围； （3）证明： ，存在 ，使 ．

汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试 理科数学 参考答案 （2）将 的图像沿 轴向右平移 个单位得到函数 ……………………7分 因为 、 分别为该图像的最高点和最低点，所以 …………………………8分 所以 …………………………………………………………………………………9分 ……………………………………………………………………………………………10分 …………………………………………………………………11分 所以 ……………………………………………………………………………………………12分
法2：
法3：利用数量积公式 ， 。
17．（本小题满分12分） 解：（1） ……………………………………………………3分 的最大值为 …………………………………………………………………………………4分 要使 取最大值， 故 的集合为 ……………………………………………………………6分 注：未写“ ”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分. （2）由题意， ，即 化简得 ……………………………………………………………………………8分 ， ，只有 ， ………………………9分 在 中，由余弦定理， ………………………10分 由 知 ，即 ，……………………………………………………11分 当 时， 取最小值 ………………………………………………………………………12分 注：不讨论角的范围扣1分.

18．（本小题满分14分） 解：（1） 图象与 轴异于原点的交点 ， ……………………1分 图象与 轴的交点 ， ………………………3分 由题意可得 ， 即 ………………………………………………………4分 ， …………………………………………………………………………………………5分 ∴ ， …………………………………………………………6分 （2） ，当 时， ， ……………………………………………7分 ∴ 在 单调递增， ………………………………………………………8分 图象的对称轴 ，抛物线开口向上 …………………………10分 由 有 ，即函数在 上单调递增 ………………………………………11分 ………………………………………………………………………………12分 ……………………………………………………………………13分 综上：当 时， ； …………………………14分
19．（本小题满分14分） 解：（1） ，∴ ………………………………………………………………1分 又当 时， ………………………………………………………………3分 所以 ……………………………………………………………………4分（2）∵ ，∴ ，………………………………………………………5分 ………………………………………………………………6分 ，∴ …………………9分 （3）解法一：由题设 ……………………………………………………10分 ∵ 时， ， ∴ 时，数列 递增…………………………………………………………………………12分 ∵ ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数； 又∵ ，即 ，∴此处变号数有 个．……………13分 综上，数列 共有 个变号数，即变号数为 。…………………………………………14分 解法二：由题设 ……………………………………………………………10分 时，令 ；又∵ ，∴ 时也有 ．…………………………………………………13分 综上得：数列 共有 个变号数，即变号数为 。 …………………………………14分

20．（本小题满分14分）

21．（本小题满分14分） 解：（1） ……………………………………………………………………1分 ， ……………………………………………………………………2分 函数 的图象在点 处的切线为 ，即 ……………………………………………………………………………………4分 （2）① 时， ，因为 ，所以点 在第一象限，依题意， …………………………………………………………………………5分 ② 时，由对数函数性质知， 时， ， ，从而“ ， ”不成立 ………………………………………………………………6分 ③ 时，由 得 ，设 ，
－
�K 极小值 �J
，从而 ， ……………………………8分 综上所述，常数 的取值范围 …………………………………………………………9分 （3）直接计算知 …………………………………………………10分 设函数 …………………………………11分 ， 当 或 时， ， 因为 的图象是一条连续不断的曲线，所以存在 ，使 ，即 ，使 ；…………………………………………………………………………12分 当 时， 、 ，而且 、 之中至少一个为正，由均值不等式知， ，等号当且仅当 时成立，所以 有最小值 ，且 ， 此时存在 （ 或 ），使 。 …………………13分 综上所述， ，存在 ，使 …………………………14分

20 × 20