5月高三数学教学情况调研试题2苏锡常镇四市含答案.docx

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 ． 2．已知 为虚数单位，复数 （ ）， ，且 ，则 ． 3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为 ． 4．已知直线 为双曲线 （ ， ）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ． 5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前 个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前 个自然数平方和的算法流程图，若输入 的值为1则输出 的值为 ． 6．已知 是集合 所表示的区域， 是集合 所表示的区域，向区域 内随机的投一个点，则该点落在区域 内的概率为 ． 7．已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ， ，则 ． 8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为 ，则该直四棱柱的侧面积为 ． 9．已知 是第二象限角，且 ， ，则 ． 10．已知直线 ： ，圆 ： ，当直线 被圆 所截得的弦长最短时，实数 ． 11．在 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，若满足 ，则角 的大小为 ． 12．在 中， ， ， ， 是 所在平面内一点，若 ，则 面积的最小值为 ． 13．已知函数 若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为 ． 14．已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量 ， . （1）当 时，求 的值； （2）若 ，且 ，求 的值. 16．如图，在四面体 中，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， ， . （1）求证： 平面 ； （2）若 为 上任一点，证明 平面 . 17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单位：百元）满足如下关系： ，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为 （单位：百元）. （1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域； （2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数 ， ， 为实数， ， 为自然对数的底数， . （1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值； （2）若关于 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围. 19．已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，左准线方程为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知直线 交椭圆 于 ， 两点. ①若直线 经过椭圆 的左焦点 ，交 轴于点 ，且满足 ， .求证： 为定值； ②若 （ 为原点），求 面积的取值范围. 20．已知数列 满足 ， ，其中 ， ， 为非零常数. （1）若 ， ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2）若数列 是公差不等于零的等差数列. ①求实数 ， 的值； ②数列 的前 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由. 2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学Ⅱ（附加）试题 21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲 如图，直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于 ， 两点， 于点 ，且 ，求证： . B.选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 的一个特征值 及对应的特征向量 . 求矩阵 的逆矩阵. C.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），曲线 的极坐标方程为 （ ）.若曲线 与曲线 有且仅有一个公共点，求实数 的值. D.选修4-5：不等式选讲 已知 ， 为正实数，求证： . 【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第 局得 分（ ）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束. （1）求在一局游戏中得3分的概率； （2）求游戏结束时局数 的分布列和数学期望 . 23．已知 ，其中 ， ， ， . （1）试求 ， ， 的值； （2）试猜测 关于 的表达式，并证明你的结论.

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学参考答案 一、填空题 1． 2．1 3．19.7 4． 5．14 6． 7．3 8． 9． 10． 11． 12． 13 14．7 二、解答题 15．解：（1）当 时， ， ， 所以 . （2） ， 若 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 则 . 16．解：（1）因为平面 平面 ， ，即 ， 平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 因为 ， 为 的中点，所以 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）连 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 同理可证 平面 ，且 ， 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ， 又 为 上任一点，所以 平面 ，所以 平面 . 17．解：（1） （ ）. （2） . 当且仅当 时，即 时取等号. 故 . 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元. 18．解：（1）当 时，函数 ， 则 ， 令 ，得 ，因为 时， ， 所以 ， 令 ， 则 ，令 ，得 ， 且当 时， 有最大值1， 所以 的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时 . （2）由题意得，方程 在区间 上有两个不同实数解， 所以 在区间 上有两个不同的实数解， 即函数 图象与函数 图象有两个不同的交点， 因为 ，令 ，得 ， 所以当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 满足的关系式为 ，即 的取值范围为 . 19．解：（1）由题设知 ， ， ， ， ， ： . （2）①由题设知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 . 设 ， ，直线 代入椭圆得 ，整理得， ， ， . 由 ， 知 ， ， （定值）. ②当直线 ， 分别与坐标轴重合时，易知 的面积 ， 当直线 ， 的斜率均存在且不为零时，设 ： ， ： ， 设 ， ，将 代入椭圆 得到 ， ， ，同理 ， ， 的面积 . 令 ， ， 令 ，则 . 综上所述， . 20．解：（1）当 时， ， . 又 ，不然 ，这与 矛盾， 为2为首项，3为公比的等比数列， ， . （2）①设 ， 由 得 ， ， 对任意 恒成立. 令 ，2，3，解得， ， ， . 经检验，满足题意. 综上， ， ， . ②由①知 . 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数. 1°若三个奇数一个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项， 则 ， ，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去. 2°若一个奇数三个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项， 则 ， . 由504为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数. 1）若 ， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设 ， ， ， 则 ，这与251为奇数矛盾. 2）若 ， ， 均为偶数，不妨设 ， ， ， 则 ，继续奇偶分析知 ， ， 中两奇数一个偶数， 不妨设 ， ， ，则 . 因为 ， 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 当 时， ， ，检验得 ， ， ， 即 ， ， ， 或者 ， ， ， 或者 ， ， ， 满足条件， 综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列. （第Ⅱ卷 理科附加卷） 21．A.解：连结 ，设圆的半径为 ， ，则 ， . 在 中， ， ，即 ，① 又 直线 切圆 于点 ，则 ，即 ，② ，代入① ， ， ， . B.解：由题知， ， ， . ， . C.解： ， 曲线 的普通方程为 . ， ， 曲线 的直角坐标方程为 ， 曲线 圆心到直线 的距离为 ， ， 或 . D.解：基本不等式 ， ， ， ， ， 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件 ， 则 . 答：在一局游戏中得3分的概率为 . （2） 的所有可能取值为1，2，3，4. 在一局游戏中得2分的概率为 ， ； 所以 . 23．解：（1） ； . （2）猜想： . 而 ， ， 所以 . 用数学归纳法证明结论成立. ①当 时， ，所以结论成立. ②假设当 时， . 由归纳假设知（*）式等于 . 所以当 时，结论也成立. 综合①②， 成立.

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