20152016正定名校高二数学上学期期末考试题带答案.docx

2015-2016学年高二第一学期期末考试 数学试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分． 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.复数 （　　） A. B. C. D. 3.抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C.0 D. 5.曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6.已知函数 ，若将函数 的图像向左平移 个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数 （ ） A. B. C. D. 7.已知 是不等式组 表示的平面区域内的一点， ，O为坐标原点，则 的最大值( ) A. B. C. D. 8.分配 名水暖工去 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9. 已知 展开式中各项系数和为625，则展开式中含 项的系数为（ ） A. B. C. D. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线 的右支相交于 两点，若 ，且 ，则双曲线的离心率 （ ） A. B. C. D. 12.已知数列 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．在正项等比数列 中，前 项和为 ___________. 14．设向量 与 的夹角为 ,且 ,则 ___________. 15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ___________种（用数字作答）. 16.已知函数 的导函数为 ，若使得 成立的 ，则实数 的取值范围为___________.
三、解答题: （本大题共6小题，共70分.） 17．（本题满分10分）等差数列 中, (1)求 的通项公式; (2)设 18．（本题满分12分）在 中，已知角 、 、 的对边分别为 ，且 。 （1）求 的大小； （2）若 ，试判断 的形状.
19.（本题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 ， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在 内的频率； （2）估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为 的学生中抽取一个容量为 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 人，求至多有 人在分数段 内的概率． 20.（本题满分12分）如图：四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，平面 平面 ， ， , 分别为线段 和 的中点． （1 求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使得平面 和平面 所成二面角的大小为 ？若存在，试确定 的位置；若不存在，请说明理由．
21. （本题满分12分）已知两点 ，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为 . （1）求点M的轨迹方程； （2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q、R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.

22．（本题满分12分） 设 为实数，函数 （1）当 时，求 在 上的最大值； （2）设函数 ，当 有两个极值点 时，总有 ，求实数 的值. 高二期末考试 数学答案 一BACCC DDCAA DB 二13. 14. 15. 96 16. 三17.解(Ⅰ)设等差数列 的公差为d,则 因为 ,所以 . 解得, . 所以 的通项公式为 . (Ⅱ) , 所以 . 18.解：（1） （2） 又 又 是等边三角形 19.解：（1）分数在[120，130）内的频率为 1－（0．1＋0．15＋0．15＋0．25＋0．05）＝1－0．7＝0．3． （2）估计平均分为 ＝95×0．1＋105×0．15＋115×0．15＋125×0．3＋135×0．25＋145×0．05=121． （3）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0．15＝9（人）． 在[120，130）分数段的人数为60×0．3＝18（人）． ∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15个． 则事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9个． ∴P（A）＝ ＝ ． 20．（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH， 因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD, , 因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点 所以FC∥AD, 所以HE∥FC, 四边形FCEH是平行四边形 所以EC∥HF 又因为 所以CE∥平面PAF ……………4分 （2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°， 所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得 CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA 由PA=AD=1，PD= 可知，PA⊥AD…………5分 所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz 因为PA=BC=1，AB= 所以AC=1 所以 假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC 所成二面角的大小为60°， 设点G的坐标为（1，a，0）， 所以 设平面PAG的法向量为 则 令 所以 又 设平面PCG的法向量为 则 令 所以 因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以 所以 又 所以 所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点. 21.解：（1）设点 ， 整理得点M所在的曲线C的方程： （ ） （2）由题意可得点P（ ） 直线PQ与直线PR的斜率互为相反数 设直线PQ的方程为 ， 与椭圆方程联立消去 ，得： ， 由于 1是方程的一个解， 所以方程的另一解为 同理 故直线RQ的斜率为 = 把直线RQ的方程 代入椭圆方程，消去 整理得 所以 原点O到直线RQ的距离为 .
22.（1）当 时， ， 则 ， ∴当 时， ，这时 单调递增， 当 时， ，这时 单调递减， ∴ 在 的极大值是 ． （2）由题意可知 ，则 ． 根据题意，方程 有两个不同的实根 ， ∴ ，即 ，且 ． 由 ，其中 ， 可得 ， 注意到 ， ∴上式化为 ， 即不等式 对任意的 恒成立， （i）当 时，不等式 恒成立， ； （ii）当 时， 恒成立，即 ， 令函数 ，显然， 是 上的减函数， ∴当 时， ，∴ ， （iii）当 时， 恒成立，即 ， 由（ii），当 时， 即 ， 综上所述， ．

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