20182019高二数学1月联考试题理科有答案河南信阳高中商丘一高.docx

信阳高中 商丘一高 2018―2019学年度上学期联考试卷 高二数学（理科）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分． 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： １． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． ２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干　　 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）命题“对 ”的否定是( ) （A）不 （B） （C） （D）对 （2）在等差数列 中，已知 ， ，则有（　　） （A） （B） （C） （D） （3）在 中,角 的对边分别为 ,若 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） （4）已知 , ,则 的最小值为( ) （A）4 （B） （C）2 （D）1 （5）已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 （ ） （A） （B） （C） （D） （6）在 中,角 的对边分别为 ,若 ，则 的最小值为（ ） （A） （B） （C） （D） （7）设等比数列 的公比为 ，且 ， 为数列 前 项和，记 ， 则( ) （A） （B） （C） （D） （8）设双曲线 （ ）的渐近线与抛物线 相切，则双曲线的离心 率为（ ） （A） （B） （C） （D） （9）点 的坐标满足条件 ，若 , ,且 ，则 的最大值为( ） （A） （B） （C） （D） （10）用数学归纳法证明 时， 到 时，不等式左边应添加的项为（ ） （A） （B） （C） （D） （11）若点 为共焦点的椭圆 和双曲线 的一个交点， ， 分别是它们的左右焦点，设椭 圆的离心率为 ，设双曲线的离心率为 ，若 ，则 （ ） （A）4 （B） （C）2 （D）1 （12）设直线 交于抛物线 ： 相交于 两点，与圆 ： 相切于点 ， 且 为线段 的中点。若这样的直线 恰有4条，则 的取值范围为 ( ) （A） （B） （C） （D） 第II卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚； 2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 （13）不等式 的解集为 . （14）已知 , ,若 是 的充分不必要条件， 则 的取值范围为__________. （15）函数 的最大值为__________. （16）已知等差数列 的首项为 ，公差为-4，前 项和为 ，若存在 ，使得 ， 则实数 的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）(本小题满分10分) 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ， ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 为锐角，求 的值及 的面积. （18）（本小题满分12分） 已知函数 ； （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 的解集包含 ，求 的取值范围. （19）(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， ， 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． （20）(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 . （21）（本小题满分12分） 已知抛物线 ； （Ⅰ）过点 作直线与抛物线 交于 两点，弦 恰被 平分，求弦 所在 直线方程. （Ⅱ）过点 作一条直线与抛物线 交于 两点，求弦 的中点 的轨迹方程. （22）（本小题满分12分） 设椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 于椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得弦长为 。 （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）是否存在与点 不同的定点 使得 恒成立？若存在，求 的坐标；若不 存在，说明理由。

2018―2019学年度上学期联考试卷 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 1. C 2.A 3.C 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 9. D 10. C 11. C 12. B 二．填空题 13. 14. 15. 16. 15 三、解答题： 17.(Ⅰ)正弦定理 …………………………2分 得 …………………………4分 （Ⅱ）因为 ，且 所以 ， …………………………5分 由余弦定理 得 …………………………7分 所以 …………………………10分 18.（Ⅰ）当 时，得 ，则 …………………………2分 当 时，无解…………………………4分 当 时，得 ，则 综上 …………………………6分 （Ⅱ） . …………………………7分 当 时， …………………………9分 则 ，所以 …………………………12分 19. (Ⅰ)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD. …………………………3分 又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED， 所以BD⊥平面AED. …………………………6分 (Ⅱ)　由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD， 因此CA，CB，CF两两垂直． 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1， 则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(32，－12，0)，F(0,0,1) …………………………8分 因此BD→＝(32，－32，0)，BF→＝(0，－1,1)． 设平面BDF的一个法向量为 ＝(x，y，z)， 则 •BD→＝0， •BF→＝0. 所以x＝3y＝3z 取z＝1，则 ＝(3，1,1) …………………………10分 由于CF→＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量， 则cos〈 ，CF→〉＝15＝55. 所以二面角F－BD－C的余弦值为55…………………………12分 （20）(Ⅰ)当 时， …………………………2分 当 时 ，符合上式 所以 .…………………………3分 则 ，得 所以 …………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 …………………………8分 两式作差 …………………………12分 21、(Ⅰ)由题知，当 轴时，不满足题意…………………………1分 设 ， ，直线 ，…………………………3分 所以 ，又 ，所以 所以直线方程为 …………………………6分 (Ⅱ) 设 ， ，弦 中点为 则 ，当直线 的斜率存在时， …………………8分 所以 ，又 …………………………9分 即 …………………………11分 当 轴时，满足题意， 所以弦 的中点的轨迹方程 …………………………12分 22. （Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点 ， 因此，，解得 ， 所以椭圆 方程为 ；…………………………4分 （Ⅱ）当直线 平行于 轴时，设直线 与椭圆相交于 两点，如果存在 点满足条件，则有 ，即 ， 所以 点在 轴上，可设 点的坐标为 ；…………………………5分 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 两点， 则 的坐标分别为 ， ， 由 ，有 ，解得 或 。 所以，若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点坐标只可能为 ……………6分 下面证明：对任意直线 ，均有 。 当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立。 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， ， ， 联立 ，得 ， 其判别式 ， 所以， ， ，…………………………8分 因此 。 又因为点 关于 轴对称的点 的坐标为 ， 又 ， ， 所以 ，即 三点共线，…………………………9分 所以 ， 故存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立。……………………12分

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