2014年高二数学(理)上学期期末考试题(有答案).docx

黑龙江省哈尔滨第六中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题 2．从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数表法确定这5名职工．现将随机数表摘录部分如下： 16 22 77 94 39　49 54 43 54 82 17 37 93 23 78　87 35 20 96 43 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88 77 04 74 47 67　21 76 33 50 25 从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为（ ） （A）23 （B）37 （C）35 （D） 17 3．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是（ ） （A）1　　 （B） 　　 （C） 　　　（D） 4．已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 6．已知点 是以 为焦点的椭圆 上一点，若 ， ，则椭圆的离心率为（ ） （A） 　　　　 （B） 　　　　 （C） 　　　　 （D） 7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示 甲　 茎 　乙 5　7 1 6　8 8　8　2 2 3　6　7 设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） （A）x1＝x2，s1s2 （C）x1>x2，s1>s2 （D）x1＝x2，s1＝s2
8．设 表示三条不同的直线， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 ，则 ； ②若 ， 是 在 内的射影， ，则 ； ③若 是平面 的一条斜线， ， 为过 的一条动直线，则可能有 ； ④若 ，则 其中真命题的个数为（ ）个 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 10．已知两点 ， ，若抛物线 上存在点 使 为等边三角形，则 ＝（ ） （A）5或 （B）5 （C） 或 （D）4 11．设 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，且 最小内角的大小为 ，则双曲线 的渐近线方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 12．在球 的表面上有 三个点，若 ，且 到平面 的距离为 ，则此球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为_________． 14．如图，在直三棱柱 中， ，点 是线段 上的一点，且 ， ，则点 到平面 的距离为____________________ 15．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 两点， 为坐标原点，若双曲线的离心率为2， 的面积为 ，则 ____________． 16．如图，从双曲线 上一点 引直线 的垂线，垂足为 ，则线段 的中点 的轨迹方程________________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分） 直角坐标系 和极坐标系 的原点与极点重合， 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为 ，（ 为参数） （1）在极坐标系下，曲线C与射线 和射线 分别交于A，B两点，求 的面积； （2）在直角坐标系下，直线 参数方程为 ，（ 为参数），求曲线C与直线 的交点坐标．
18.（本小题满分12分） 三棱锥 中，面 与面 均为正三角形，点 分别为 中点 （1）证明：四边形 为矩形； （2）若二面角 大小为 ，求直线 与面 所成角的正弦值．
19.（本小题满分12分） 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列． （1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数； （2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图）； （3）由直方图估计男生身高的中位数．
20.（本小题满分12分） 如图，已知椭圆 ， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆的上顶点，直线 交椭圆于另一点 . （1）若 ，求椭圆的离心率； （2）若 ， ，求椭圆的方程．
21.（本小题满分12分） 四棱锥 中，棱长 ，底面 是边长为 的菱形，点 为 中点 （1）若 ，证明： ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
22.（本小题满分12分） 椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为 ，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 . （1）求椭圆 的方程； （2）求点 的轨迹 的曲线方程； （3）点 为曲线 上异于原点 的两点， ， ，求四边形 的面积最小值． 19解：(1)由直方图，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝018. 这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．…………4分 (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人， 设第六组人数为m，则第七组人数为0.18×50－2－m＝7－m， 又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06. 频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图． …………9分 （3）设中位数为 ，由 频率为 ，所以 ， ，解得 =174.5 ………12分
20解：若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝2c，e＝ca＝22. …………5分 (2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝a2－b2，设B(x，y)． 由＝2⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2， y＝－b2，即B(3c2，－b2)．将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1， 即9c24a2＋14＝1， 解得a2＝3c2.① 又由•＝(－c，－b)•(3c2，－3b2)＝32⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.② 由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2. 所以椭圆方程为x23＋y22＝1. …………12分

20 × 20