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用射影面积法求二面角在高考中的妙用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！
定理 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.

A
B D C

本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.
证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.
于，，
在内的射影为.
又，
（三垂线定理的逆定理）.
为二面角—BC—的平面角.
设△ABC和△的面积分别为S和，，则.
.
A B
D1 C1
D C
A1 B1

E
典题妙解
下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1 如图, 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是A A1棱的中点，则
面BE C1与面AC所成的二面角的大小为( )
A. B. C. D.
解：连结AC，则△在面AC内的射影是△ABC，设它们的
面积分别为S和，所成的二面角为 .
A B
D1 C1
D C
A1 B1

E
设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，

A B
D C
S B
M B
D
.
故答案选D.
例2（04北京）如图, 已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形, SD⊥面AC, SB = .
(1) 求证:BC⊥SC;
(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;
(3) 设棱SA的中点为M, 求异面直线DM与SB所成的角的大小.
（1）证明： SD⊥面AC，
SC在面AC内的射影是SD.
又四边形ABCD是正方形，面AC，
BC⊥SC（三垂线定理）.

（2）解： SD⊥面AC，面AC，.
又四边形ABCD是正方形，.
而，CD⊥面ASD.
又AB∥CD，BA⊥面ASD.
A B
D C
S B
M B
D
E
△SBC在面SAD的射影是△SAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .
.
故.
所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为.
（3）解：取AB的中点E，连结DE、ME.
，ME∥SB.
异面直线DM与SB所成的角就是，设.
A B
D C
S B
M B
D
，
.
. 故.
所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.
解法二：
面SAD，
SB在面SAD 内的射影是SA.
D A
M
C B
E
F
又.
而面SAD，（三垂线定理）.
所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.
例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面
互相垂直，AB = ，AF = 1，M是线段EF的中点.
(1) 求证：AM∥平面BDE；
(2) 求证：面AE⊥平面BDF；
D A
M
C B
E
F
O
(3) 求二面角A—DF—B的大小.
证明：（1）设，则，连结OE.
四边形ACEF是矩形，，
，EM∥AO.
四边形AOEM是平行四边形，从而AM∥EO.
又平面BDE，
AM∥平面BDE.
（2）四边形ABCD是正方形，.
又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，面BD面AE= AC ，
，从而.
而，.
平面BDF，
面AE⊥平面BDF.

（3）解：，.
△BDF在面ADF上的射影是△ADF，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.
AB = ，AF = 1，.
D A
M
C B
E
F
O
连结FO，则.

故.
所以二面角A—DF—B的大小为.
例4 （08天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩
P
A D
B C
形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角P—BD—A的大小.
（1）证明：
.
，即.
又四边形ABCD是正方形，
.
而，AB、PA面PAB，
AD⊥平面PAB.
2）AD∥BC，
异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即.
在△PAB中，AB = 3，PA = 2，，
P
A D
B C
E
.
由（1）得，AD⊥平面PAB.
，即.
又BC = AD = 2，
. .
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为.
（3）作于E，连结DE.
由（1）知，，而，
面ABCD.
△PBD在面ABCD内的射影是△EBD，设
它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .
.
.
.
，.

所以二面角P—BD—A的大小为.
点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！
V
D C
A B
金指点睛
1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.

C B
A
D
E

2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC—中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.
（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；
（2）设，求二面角的大小.

E
B C
A D
P
3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，，PA⊥平面ABCD，PA = 4，AD = 2，，BC = 6.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A—PC—D的大小.

S
A B
D C
E
4. （09湖北）如图，四棱柱S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0＜）.
（1）求证：对任意，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C—AE—D的大小为，求的值.

金指点睛的参考答案
1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
V
D C
A B
（1）证明：AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.
（1）证明：取AD的中点E，连结VE.
.
又平面VAD⊥底面ABCD，VE平面VAD，

VE⊥底面ABCD. VA在底面ABCD的射影是AD.
AB⊥AD，AB底面ABCD， AB⊥VA（三垂线定理）.
而VA、AD平面VAD，
故AB⊥平面VAD.
（2）由（1）可知，AB⊥平面VAD，
△VBD在平面VAD的射影是△VAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.
设正方形的边长为1，则.

C B
A
D
E

.
.
，.
所以面VAD与面VDB所成二面角的大小为.
2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC—中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.
（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；
（2）设，求二面角的大小.
（1）证明：取AC的中点F，连结EF、BF.
∥.
在直三棱柱ABC—中，面ABC，，∥，，

C B
A
D
E

F
∥DB，EF= DB，面ABC.
四边形BDEF是矩形. 从而.
在Rt△ABD和Rt△中，
.
Rt△ABD≌Rt△.
. 而
所以ED为异面直线和的公垂线.
（2）解：连结..
，即面

C B
A
D
E

在面内的射影是.
△在面内的射影是△.设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.
设AB = BC = 1，
则.
.
所以二面角的大小为.
3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，，PA⊥平面ABCD，PA = 4，AD = 2，，BC = 6.
（1）求证：BD⊥平面PAC；

E
B C
A D
P
（2）求二面角A—PC—D的大小.
（1）证明：在Rt△ABD和Rt△ABC中，，
AD = 2，，BC = 6.
.
. 而，
，即.
又 PA⊥平面ABCD，平面ABCD，.
，PA、AC平面PAC，
故BD⊥平面PAC.
（2）解：连结PE. 由（1）知，BD⊥平面PAC.
△PDC在平面PAC内的射影是△PEC，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.
PA⊥平面ABCD，，（三垂线定理）.
，从而.
E
B C
A D
P
.
.
.
.
所以二面角A—PC—D的大小
S
A B
D C
E
O
4. （09湖北）如图，四棱柱S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0＜）.
（1）求证：对任意，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C—AE—D的大小为，求的值.
（1）证明：连结BD. 四边形ABCD是正方形，.
又 SD⊥平面ABCD，SD = a ，点E是SD上的点，
且（0＜），
点E在线段SD上，且不与点D重合，因而BE在平面ABCD 内的射影是BD.
对任意，都有AC⊥BE（三垂线定理）.
（2）解：设，连结EO.
SD⊥平面ABCD，点E是SD上的点，平面ABCD， .
又四边形ABCD是正方形，.
而，SD、AD面SAD. CE在平面SAD内的射影是AE.
△CAE在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S和，所成的二面角为，则.
.
.
.
解得，所以的值为.

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