精选-南京大学数学分析高等代数考研真题与解析.doc

南京大学数学分析，高等代数考研真题
南京大学2002年数学分析考研试题
一 求下列极限。
（1）；
（2）设，，
（i）在上的最大值；
（ii）设，，，，求。
二 设，试证明在内有无穷多个零点。
三 设在的某个邻域内连续，且，，
（1）求；
（2）求；
（3）证明在点处取得最小值。
四 设在的某个邻域内具有二阶连续导数，且，试证明：
（1）；
（2）级数绝对收敛。
五 计算下列积分
（1）求；
（2），其中是圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六 设，在内可导，不恒等于常数，且，
试证明：在内至少存在一点，使。
七 在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面
,
第一象限的点,问取何值时，所做的功最大，并求的最大值。
八 （1）证明：，；
（2）求。
南京大学2002年数学分析考研试题解答
一 （1）解

.
（2）解 （i）,
当时，，在上单增，
当时，，在上单减，
所以在处达到最大值，；
（ii）当时，，
，
，
，
，，
， 单调递增有上界，设，则有
，，，
；
当时，，；
当时，，，
，
二 证明 因为，
，，
显然在上连续，由连续函数的介值定理知，存在使得
，
即得在上有无穷多个零点。
三 解 （1），
因为，所以，
，
，
于是；
（3）由知，存在，当时，，，
即知中在处取得极小值。
四 、证明 （1）由，知，
由知.
（2），
，已知收敛，其中，
于是收敛，结论得证。
五 （1）解

,
所以
.
（2）解 曲面，事物交线为，，
，
，
其中是区域的边界时，利用高斯公式，

.
当是的边界时，利用高斯公式

.
六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意，都有，在上单调递减，由于不恒等于常数，所以不恒等于零，存在一点，使得，，存在，使得
，，
因为，，
所以，这与矛盾，从而假设不成立，原结论得证。
证法2 由于在上连续，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在内达到。
若在处达到最大值，存在使得
，
从而有；
若在处达到最小值，存在使得
，
从而有；
结论得证。
七 解 设，则有，所以是有势场，
，
由于时，
，
，
等号成立当且仅当，
所以时，达到最大值，且的最大值为。
八 证明 （1）由于当时，有，
对任意，，取，，
所以有；
（2）取，
有，收敛，
对任意，在上一致收敛于，
故由函数列积分的黎曼控制收敛定理，

。

南京大学2003年数学分析考研试题
一 求下列极限
（1）设，求；
（2）设，，，求。
（3）。
二 过点作抛物线的切线，求
（1）切线方程；
（2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积；
（3）该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。
三 对任一，求在中的最大值，
并证明该最大值对任一，均小于。
四 设在上有连续导数，且，，（为常数），试证：在内仅有一个零点。
五 计算下列积分
（1）设，，求和；
（2），其中为上半球面，的外侧。
六 设，在上黎曼可积，

（1）求，并讨论在上的一致收敛性；
（2）求，（要说明理由）
七 设的收敛半径为，令，试证明：在上一致收敛于，其中为任一有穷闭区间。

南京大学2003年数学分析考研试题解答
一 （1）解 设，则有，
由此知，；
（2）解 由归纳法，易知，，
，
由此知，单调递增有界，设，，
则有 ，
，故。
（3）
，
，
故。
3 解 （1），设切点为，，
设切点的切线方程为。
将，代入，，
，
，，
所求切线方程为，即。
（2）解。
（3）
，

。
三 解 ，
当时，，
当时，，
于是在处达到最大值，
。
容易证明在上单调递减，，
，
故有.
四 证明 对任意，
,
当充分大时，有，又，由连续函数的介值定理，存在，，
由，在上严格单调递增，所以在内仅有一个零点。
五 （1）解

，
显然，

，
，
.
（2）解 ，
，

.
六、解 ，
由于极限函数在上不连续，
所以在上不一致收敛；
但对任何在上一致收敛于0；
且，
根据控制收敛定理，
对于在上黎曼可积，
有 。
七、 证明 由条件知在上连续，在任意有限区间上是一致收敛的，
对任意有限区间，在上一致收敛于，
在上一致有界，，
再由在上一致连续，
于是有在上一致收敛于.