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第4章 第3节

时间：45分钟　满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. 已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是(　　)
A. λ∈(0，)
B. λ∈(－，0)
C. λ∈(－∞，－)∪(，＋∞)
D. λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)
答案：D
解析：由|a＋λb|>1，得a2＋2λa·b＋λ2b2>1，
化简得λ2－λ>0，
解得λ<0或λ>，故选D.
2. [2012·潍坊模考]已知非零向量a·b满足|a|＝|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是(　　)
A. [0，]　　　　　　 B. (0，]
C. (，] D. (，π]
答案：D
解析：∵f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有不相等的实根．∵f′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，∴x2＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|2－8a·b>0，即a·b<|a|2，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉<＝，∵0≤〈a，b〉≤π，∴<〈a，b〉≤π，故选D.
3. [2012·湖北联考]已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a·b＝0，若向量c与a－b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A. B. 1
C. D.
答案：A
解析：∵c与a－b共线，设c＝λ(a－b)＝λa－λb(λ≠0)，则|a＋c|＝|a＋λa－λb|＝|(1＋λ)a－λb|，∴|a＋c|2＝(1＋λ)2|a|2－2λ(1＋λ)a·b＋λ2|b|2＝4(2λ2＋2λ＋1)，当λ＝－时，|a＋c|的最小值是.
4. 已知平面向量a，b，c满足：a⊥c，b·c＝－2，|c|＝2，若存在实数λ使得c＝a＋λb，则λ的值为(　　)
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
答案：B
解析：由已知a⊥c得a·c＝0，又c·c＝(a＋λb)·c，即|c|2＝a·c＋λb·c.又|c|＝2，a·c＝0，b·c＝－2，所以－2λ＝4，即λ＝－2.
5. 在△ABC中，AB＝，AC＝2，若O为△ABC内部的一点，且满足＋＋＝0，则·＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知O为△ABC的重心，取BC的中点D，∴＝＝(＋)，＝－，∴·＝(＋)(－)＝(2－2)＝.
6. [2011·福建]设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，
则称映射f具有性质P.
现给出如下映射：
①f1V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；
③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
其中，具有性质P的映射的序号为__________．(写出所有具有性质P的映射的序号)
答案：①③
解析：由题意知λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，对于①：
f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2，而λf1(a)＋(1－λ)f1(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2，∴f1(λa＋(1－λ)b)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，故①中映射具有性质P；对于②：f2(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋λy1＋(1－λ)y2，而λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x＋y1)＋(1－λ)(x＋y2)＝λx＋(1－λ)x＋λy1＋(1－λ)y2，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，故②中映射不具有性质P；对于③：f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1，而λf3(a)＋(1－λ)f3(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1.∴f3(λa＋(1－λ)b)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，故③中映射具有性质P，综上可知具有性质P的映射的序号为①③.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
答案：(－，0)∪(0，＋∞)
解析：∵a与a＋λb均不是零向量，且其夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，即5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb共线时，可设a＋λb＝ma(m∈R)，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴，解得λ＝0，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.
∴λ的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞)．
8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.
答案：
解析：由题意知·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝()2＝2⇒c＝||＝.
9. [2011·湖南]在边长为1的正三角形ABC中，设＝2B，＝3C，则·B＝__________.
答案：－
解析：如图，由题意得D为BC中点，E为AC三等分点，

∴·B＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝－2＋2＋·－·
＝－2＋2－·
＝－＋－×＝－＝－.
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10 已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得
，∴或，
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
11．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
解：(1)∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝.
(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)，
∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，解得m>－.
又由(1)可知，当m＝时，∠ABC＝0°，故m∈(－，)∪(，＋∞)．
12. 已知函数f(x)＝a·b－1，其中a＝(sin2x，cosx)，b＝(1,2cosx)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝2，a＝，b＝3，求边长c的值．
解：(1)依题意得f(x)＝a·b－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)∵f(A)＝2，∴2sin(2A＋)＝2，即sin(2A＋)＝1，∴A＝kπ＋，k∈Z.又∵A为三角形的内角，∴A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－3c＋6＝0，∴c＝或2.