2011四川初中数学联赛初二组决赛试题及答案.doc

2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ）。
（A）2.3元 （B） 2.6元 （C） 3元 （D） 3.5元
答：书的质量（克），故邮资为：（元），选A。
2、设关于的分式方程有无穷多个解，则的值有（ ）．
（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 无穷多个
答：因为分式方程有解，故，解得，故只有1个，所以选B。
３、实数、、，满足，且，则的值（ ）。
（A） 是正数 （B） 是负数 （C） 是零 （D） 正负不能确定
答：由，知，中，必有两负一正，不妨设，，，且，所以，故，而，所以，选B。
４、若分别是三角形三边长，且满足，则一定有（ ）．
（A） （B） （C）或 （D）
答：由分式化简可得，故或，选C。
５、已知如图，长方形ABCD，AB=8，BC=6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（ ）。
（A） （B）7 （C）8 （D）
答：显然AC与PQ相互垂直平分，于是相似，则，得，故，选A。
６、用三个2，能写出最大的数一定（ ）。
（A）（B） 等于222 （C） 等于242 （D）大于1000
答：最大的数是，选D。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、是实数，那么的最小值是（ ）。
答：当时，取最小值6.
2、已知，则的值是 。
答：因为，故。故
。

3、右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是 143 。
答：如图设6个正方形的边长从小到大依次为：1、、、、、，则由长方形的上下两边相等有：，得。于是长方形的长和宽分别为：、，于是长方形面积为。
4、在的三条中线长为3、4、5，则为 。
答：将GD延长一倍至D’，则四边形BDCD’是平行四边形，则的边长分别是的三条中线长的倍，故它是直角三角形，且面积为；另一方面，的面积与面积相等，而的面积是的，故。
三、（本大题满分20分）
设有m个正n边形，这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除，求m+n的最小值。
解：由题意，这m个正n边形的内角总和度数为
……………………5分
因为能被8整除，故180mn能被8整除；
而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn能被2整除，
故m、n中只至少有一偶数。………………10分
又，，且均为整数。
要使m+n最小，则
取时，则；………………15分
取时，则；
故m+n的最小值为5. ………………20分

四、（本大题满分25分）
现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子。
解1：因为有4种颜色的袜子，故5只袜子必有1双；……………………5分
取出1双袜子，剩下3只，则再增加2只袜子，又可以配成1双；…………10分
以此类推，配成袜子的双数（x）与所需袜子只数（y），就有如下关系：
………………15分
于是要配成10双袜子，所需23只就够了。………………20分
如果取出22只袜子，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。
因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分

解2
单色袜子最多剩下4只；……………………5分
因此，24只袜子一定能够配成10双；…………10分
当取出23只袜子时，一定能够配成9双，此时剩下5只袜子；………………15分
5袜子中，可以配成1双，于是23只袜子，也可以配成10双；………………20分
当取出22只袜子时，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。
因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。………………25分
五、（本大题满分25分）
已知如图：正方形ABCD，BE=BD，CE平行BD，BE交CD于F。求证：DE=DF。
证明：作E关于BC的对称点E’，连接DE’、CE’、BE’。
根据对称性质有：
；；且。………5分
故绕C点逆时针旋转就得到，…………10分
所以，则是正三角形，故。
于是………………15分
又，故，所以； ………………20分
而
故
所以DE=DF。 ………………25分

2012年四川初中数学联赛(初二组)决赛
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形形状一定是（ B ）
A、直角三角形 B、等映三角形 C、等腰直角三角形 D、无法确定

2、小王第一周每小时工资为 a元，工作 b小时，第二周每小时工资增加10%，工作总时间减少10％，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（ B ）
A、 增加1％ B、减少1％ C、减少 l.5％ D、不变

3、 已知a、b、c为任意实数，则的值一定 （ D ）
A、 大于0 B、等于0 C、小于0 D大于或等于0

4、 已知x、y都不等于0，若∣x＋y∣=∣∣x∣－∣y∣∣，则（ C ）
A、 x>0,y>0 B、x<0,y<0 C、xy<0 D、任何情况都成立

5、 若，则代数式的值的整数部分为（ A ）
A、6 B、8 C、10 D、12

6、 若P为平行四边形ABCD内的一点，且,,则等于（ C ）
A、2 B、2 C、3 D、4

二、 填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、如图，ABCDEI是一个正五边形，DEFGHI是一个正六边形，则∠IAH的大小为 24o 。
2、若，则等于 7 。
3、若x－1是的因式，则a的值是 -2 。
4、如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后折痕为MN，则梯形ADMN与BCMN面积之比为 。

三、（本大题满分20分）
已知，求关于的不等式的解集．
解：由条件知， 　　　　………5分
解得． 　　　　………10分
于是，即， 　　　　 ………15分
解得．故所求的解集为． 　　　　 ………20分
四、（本大题满分25分）

设函数与的两个交点为、，其中，
点．求的面积．
解：联立，消去得，， ………5分
即，解得． ………10分
所以，,. ………15分
因为．所以，为直角三角形，且.
显然 ………20分
故． ………25分
五、（本大题满分25分）
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，H为的垂心．

求证：．

证明：连接EH、HF．
因EH⊥AF，AF⊥CD，故EH∥CD，同理HF∥BC，
故ECFH是平行四边形． ………5分
作沿HF平移得，
则在AD上． ………10分
则，为直角三角形，且．………15分
又因为AE⊥BC，故为矩形， ………20分
故．
所以,． ………25分
2013年四川初中数学联赛(初二组)决赛
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、设，则的最大值与最小值的和 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解析：由条件，可得，当，得最小值-2，当，得最大值2，故选A
2、设，是不超过的最大整数，求= （ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，代入代数式经分母有理化得，故选B.
D
C
B
A
3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（ ）
（A）65° （B）70° （C）75° （D）80°
解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.
4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ）
（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个
解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.
5、已知：为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：由方程组解出，由非负实数，可解得，
D
P
C
B
A
∵，取代入即可求得，答案为A
6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（ ）
（A） （B）16 （C） （D）
E
D
P
C
B
A
解析：延长DP交CB延长线于点E，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EBP∽△EDC，可得,求得EC=，BC=EC-EB=-3=，答案C
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、关于的不等式组的解是，则的值是
解析：解不等式组得，故
2、如果都是质数，则
解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=3
3、设为两个不同的非负整数，且，则的最小值是
E
P
B
C
D
A
解析：∵为两个不同的非负整数，∴，故取0~6的整数代入再求符合条件的，符合条件的整数解只有三组，故的最小值为5.
4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=
E
P
B
C
D
A
解析：连结BE，易证△AEB≌△APD，故PD=EB，∠APD=∠AEB。
∵△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°
∴∠AEP=∠APE=45° ∴∠APD=135° 故∠AEB=135°
∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°
可求PE=,再由勾股定理可求得BE=, 所以PD=
三、（本大题满分20分）
设实数满足，解关于的分式方程
解 ∵ ∴
∴…………………………………………………………5分
∴ ，又∵ ∴ …………………10分
当时，为增根，原方程无解……………………………15分
O
P
A
F
E
y
x
当且时，原方程的解是………………………20分
四、（本大题满分25分）
已知一次函数的图像与轴的正半轴交于E点，与轴的正半轴交于F点，与一次函数的图像相交于A (m,2)，且A点为EF的中点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若一次函数的图像与轴相交于P点，求三角形APE的面积。
解析：∵函数过点A (m,2) ∴ A点坐标………………5分
∵ A点为EF的中点. ∴E（3,0）F（0,4） …………………………10分
∴ 一次函数解析式为 ……………………………………15分
∵一次函数的图像与轴相交于P点， ∴ P ………20分
如图：所以PE=， PE边上的高为2，
∴…………………………………25分
五、（本大题满分25分）
B
如图，已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：FA=FD且FA⊥FD
解析：连结AF、DF，并延长AF至G，使FG=AF,
连结DGEG
∵ ∴△AFB≌△GFE
∴AB=GE ,∠B=∠FEG……………………5分
∵ABED为四边形，且∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠FED+∠CAD+∠CDA=180°，
又∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°
∴ ∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED…………10分
又因为GE=AB=AC,CD=ED
∴ △ACD≌△GED…………………………………15分
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE
而AF=GF
∴AF⊥DF…………………………………20分
又∵∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°
∴ ∠ADC+∠GDC=90° 即∠ADG=90°
∴DF=AF…………………………………25分