倒立摆控制综合系统的设计.docx

自动控制理论课程设计

倒立摆系统控制器设计

学生姓名：
指导老师：
班 级：

二O一三
课程设计指导老师评定成绩表：
项目
分值
优异
(100>x≥90)
良好
(90>x≥80)
中等
(80>x≥70)
及格
(70>x≥60)
不及格(x<60)
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
15
学习态度认真，科学作风严谨，严格确保设计时间并按任务书中要求进度开展各项工作
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书要求任务
学习态度尚好，遵守组织纪律，基础确保设计时间，按期完成各项工作
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能确保设计时间和进度

技术水平和实际能力
25
设计合理、理论分析和计算正确，试验数据正确，有很强实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文件查阅能力强、引用合理、调查调研很合理、可信
设计合理、理论分析和计算正确，试验数据比较正确，有较强实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文件引用、调查调研比较合理、可信
设计合理，理论分析和计算基础正确，试验数据比较正确，有一定实际动手能力，关键文件引用、调查调研比较可信
设计基础合理，理论分析和计算无大错，试验数据无大错
设计不合理，理论分析和计算有标准错误，试验数据不可靠，实际动手能力差，文件引用、调查调研有较大问题

创新
10
有重大改善或独特见解，有一定实用价值
有较大改善或新奇见解，实用性尚可
有一定改善或新见解
有一定见解
观念陈旧

论文(计算书、图纸)撰写质量
50
结构严谨，逻辑性强，层次清楚，语言正确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸很工整、清楚
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言正确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清楚
结构合理，层次较为分明，文理通顺基础达成规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清楚
结构基础合理，逻辑基础清楚，文字尚通顺，勉强达成规范化要求；图纸比较工整
内容空泛，结构混乱，文字表示不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清楚

指导老师评定成绩：
指导老师署名： 年 月 日
重庆大学本科学生课程设计任务书
课程设计题目
倒立摆系统控制器设计
学院
自动化学院
专业
自动化
年级
级

1、已知参数和设计要求：
M：小车质量 1.096kg
m：摆杆质量 0.109kg
b：小车摩擦系数 0.1N/sec
l：摆杆转动轴心到杆质心长度 0.25m
I：摆杆惯量 0.0034kgm2
建立以小车加速度为系统输入，以摆杆角度为系统输出被控对象数学模型。分别用根轨迹法、频率特征法设计控制器使闭环系统满足要求性能指标；调整PID控制器参数，使闭环系统满足要求性能指标。

2、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统性能指标满足：
调整时间
最大超调量

3、利用频率特征法设计控制器，使得校正后系统性能指标满足：
(1) 系统静态位置误差常数为10；
(2) 相位裕量为 50°；
(3) 增益裕量等于或大于10dB。

4、设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统性能指标满足：
调整时间
最大超调量

学生应完成工作：
1、利用设计指示书中实际参数，经过机理推导，建立倒立摆系统实际数学模型。
2、进行开环系统时域分析。
3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统仿真分析。
4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统仿真分析。
5、设计或调整PID控制器参数，进行闭环系统仿真分析。
6、将所设计控制器在倒立摆系统上进行实时控制试验。
7、完成课程设计汇报。

参考资料：
1、固高科技.直线倒立摆安装和使用手册R1.0，
2、固高科技. 固高MATLAB实时控制软件用户手册，
3、Matlab/Simulink相关资料
4、谢昭莉，李良筑，杨欣. 自动控制原理. 北京：机械工业出版社，
5、胡寿松. 自动控制原理（第五版）. 北京：科学出版社，
6、Katsuhiko Ogata. 现代控制工程. 北京：电子工业出版社，

课程设计工作计划：
1、部署课程设计任务；消化课程设计内容，查阅并参考相关资料，进行初步设计（3天）；
2、按课程设计要求进行具体设计（3天）；
3、进行实时控制试验，并按课程设计规范要求撰写设计汇报（3天）；
4、课程设计答辩，实时控制验证（1天）。

任务下达日期 年 12 月 24 日
完成日期 年 1 月 6 日
指导老师 （署名）
学 生 （署名）

目录
一、倒立摆控制系统概述 2
二、数学模型的建立 3
三、系统开环响应分析 4
四、根轨迹法控制器设计 5
4.1 根轨迹分析 5
4.2 系统根轨迹设计 6
4.3 校正后系统性能分析 8
4.4 系统控制器的调整 8
五、频域法控制器设计 10
5.1 频域法分析 10
5.2 串联校正器的选择与设计 10
5.3 系统的仿真 13
六、PID控制器设计 14
七、总结及心得体会 16
八、参考教材 16

一、倒立摆控制系统概述
倒立摆装置被公认为自动控制理论中经典试验设备，也是控制理论教学和科研中控对象，利用控制手段可使之含有良好稳定性。经过对倒立摆系统研究，不仅能够处理控制中理论问题，还能将控制理论所包含三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多个控制理论和方法研究和应用中，尤其是在工程实践中，也存在一个可行性试验问题，将其理论和方法得到有效经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践桥梁。
在稳定性控制问题上，倒立摆既含有普遍性又含有经典性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多个不一样控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合快速系统，只有采取行之有效控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统能够用多个理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多个理论和方法，全部能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一个新控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证实时，能够考虑经过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。
倒立摆种类：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。
倒立摆控制系统组成：倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱和控制平台（包含运动控制卡和PC机）三大部分组成。
此次课程设计利用单级倒立摆，关键设计PC机内控制函数，减小超调量和调整时间！

二、数学模型建立
系统建模能够分为两种：机理建模和试验建模。对于倒立摆系统，因为其本身是自不稳定系统，试验建模存在一定困难。机理建模就是在了解研究对象运动规律基础上，经过物理、化学等学科知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量和输出变量之间数学关系。

图 1 直线一级倒立摆系统
• M 小车质量1.096 Kg
• m 摆杆质量0.109 Kg
• b 小车摩擦系数0.1N/m/sec
• l 摆杆转动轴心到质心长度0.25m
• I 摆杆惯量0.0034 kg·m2
• F 加在小车上力
• x 小车位置
• f 摆杆和垂直向上方向夹角
• q 摆杆和垂直向下方向夹角

图 2小车及摆杆受力分析---------- N 和P 为小车和摆杆相互作用力水平和垂直方向分量
小车水平方向协力：Mx =F –bx -N
摆杆水平方向协力：
N =m d2dt2x+sinθ = mx +mlθcosθ -mlθ2sinθ
摆杆水平方向运动方程：
M+mx +bx +mlθcosθ-mlθsinθ=F
摆杆力矩平衡方程：-Plsinθ -Nlsinθ=Iθ
摆杆垂直方向协力：
P-mg=md2dt2lcosθ=-mlθsinθ-mlθcosθ
摆杆垂直方向运动方程：
Iml2θ+mglsinθ=-mlxcosθ
用u 来代表被控对象输入力F，线性化后，两个运动方程以下(其中 θ=π+φ )：
I+Ml2φ-mglφ=mlxM+mx+bx-mlφ=u
假如令a=x进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度之间传输函数：

把实际参数带入可得系统实际模型为：

三、系统开环响应分析
我们已经得到系统实际模型，下面对其进行单位阶跃响应分析，在MATLAB中输入以下程序：
M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I= 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m )*( I+m*l^2)-(m*l)^2;
num = [m*l/q 0 0];
den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0];
t = 0 : 0.05 : 5;
impulse( num , den , t );
axis ( [ 0 1 0 60 ]);
能够得到小车位置和加速度实际模型单位阶跃响应图3：

图 3 系统单位阶跃响应曲线
由图可知，在进行校正之前，小车单位阶跃响应是发散，倒立摆系统不稳定！
四、根轨迹法控制器设计
4.1 根轨迹分析
上面已经得到系统被控对象传输函数：

在MATLAB中输入以下程序：
clear all;
clc;
num =[0.02725 ];
den =[0.0102125 0 -0.26705];
rlocus (num,den)；
图 4 系统根轨迹图
运行程序后便得到控制系统开环传输函数根轨迹图。由图4我们知道系统有两个开环极点：
P1=-5.1136 P2=5.1136
能够看出一个极点在右半平面，而且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到在原点零点处，这意味着不管增益怎样改变，这条根轨迹总是在右半平面，即系统总是不稳定。
4.2 系统根轨迹设计
开环传输函数为：

根轨迹设计要求为：
最大超调亮：σp%≤10%
调整时间：ts=0.5s(2%误差带)
1）依据要求性能指标，计算出校正后闭环主导极点Sd坐标。
由σp%=e-πε1-ε2≤10%,计算出ε≤0.6考虑到非主导极点和闭环零点影响，设计时ε取值应留有余量。取ε=0.78，β=cos-1ε=39。，再由ts=0.5s得ωn=11.54rads。
期望闭环主导极点s1,2=-εωn±jωn1-ε2=-9±j7.22,为校正开环传输函数G0S=0.027250.0102125s2-0.26705
∠G0s1=∠0.027250.0102125s2-0.26705|s1=∠0.02725-0.392+j0.729-0.1426+j0.729
=89。
2）画出未校正系统根轨迹图及标明sd
观察发觉为校正系统根轨迹并不经过期望闭环主导极点，假如想要校正后根轨迹经过该点，需要增加校正网络。
3）计算超前校正网络应提供超前相角φc。
φc=180。-∠G0s1=180。-89。=91。
4）计算γ角、zc和pc：
γ=12γ-β-φc=25。
zc=ωnsinγsinγ+φc=5.426
pc=ωnsinγ+φcsinγ=24.54
故校正网络传输函数为：
Gcs=s+5.426s+24.54
该校正网络使校正后开环传输函数满足了期望极点是根轨迹上点相角条件。
5）为了使校正后传输函数满足幅值条件，应该串入一个kc，开环传输函数为：kcGcsG0s
由幅值条件 |kcGcsG0s|s1=1 即可求得kc。在MATLAB里面键入以下程序：
s=-9+7.22*i
f1=abs(s+5.246)
f2=abs(s+24.54)
f3=abs(0.0102125*s^2-0.26705)
solve('k*f1*0.02725/(f2*f3)=1')；
解得kc=107
6）于是系统校正网络传输函数为：
kcGcs=107s+5.426s+24.54
4.3 校正后系统性能分析
在Simulink中进行系统仿真，得到校正后系统单位阶跃响应为：
图 5校正后系统单位阶跃响应
计算超调量：σp%=3.9% 满足要求
计算调整时间：ts=0.524s 不满足要求
计算结果表明，校正后系统超调亮满足要求，不过调整时间不满足要求，而且稳态误差过大。
4.4 系统控制器调整
调整kc至220，进行仿真，得到系统单位阶跃响应图6 所表示：

图 6调整增益后系统单位阶跃响应
同时进行零极点调整，最终得出满足条件零极点及增益为：
kc=900, zc=6, pc=80
满足条件控制器单位阶跃响应为：
图 6满足条件单位阶跃响应
超调量：σp%=5.3%满足要求
调整时间：ts=0.28s 满足要求
稳态误差：17%
以上结果均满足设计要求。
五、频域法控制器设计
5.1 频域法分析
一级倒立摆实际模型开环传输函数为：
在MATLAB中输入以下程序：
clear all;
clc;
num = [0.02725];
den =[0.0102125 0 -0.26705];
G = tf(num,den);
figure;
margin(G);
grid on;
得到校正前系统bode图为：
图 7 未校正系统bode图
由图能够看出，系统bode图不经过0dB线，系统不稳定，需要增加串联校正步骤。
5.2 串联校正器选择和设计
系统开环传输函数：
频域法设计要求：
系统静态位置误差常数为：10
相位裕量为：50。
增益裕量等于或大于10分贝
控制器设计：
1）对比bode图和系统频域设计要求，我们能够看出，只需要给系统增加一个超前校正装置即可使校正后系统满足频域设计要求。设超前校正装置为：
GCs=KαTs+1Ts+1
设计要求校正后静态位置误差常数为10，所以：
Kp=lims→0G0sGcsHs=10
解得 K=98
2）将K带入校正前开环传输函数，利用MATLAB画出系统bode图，从图中获取校正前系统相角裕量为：γ=0。
3）计算超前校正装置应提供最大相角：
φm=γ'-γ+5。~10。=55。
式中γ'为性能指标要求相角裕量，γ为原系统相角裕量，增加5。~10。是为了赔偿因增加超前校正装置使开环截止频率右移而造成相位下降
4）计算超前校正装置参数α。
α=1+sinφm1-sinφm=10.06
5）确定系统校正后截止频率ωc’ 。
截止频率就是对应期望相角裕量γ'频率ωc’。即在校正前对数幅频特征bode图中，对数幅频特征Lω=-10log10α时，对应频率就是系统超前校正后截止频率ωc’，求得ωc’=28.3 图示：

图8 校正前系统bode图求ωc’
6）计算超前校正装置例外一个参数T。
T=1ωc’α=0.011
7）确定校正装置传输函数：
Gcs=αTs+1Ts+1=0.11s+10.011s+1
8) 画出校正后系统bode图，在MATLAB中输入以下程序：
clear all;
num1=[0.11 1];
num2=[2.6705]
num=conv(num1,num2);
den1=[0.011 1];
den2=[0.0102125 0 -0.267005];
den=conv(den1,den2));
G=tf(num,den);
figure;
Margin;
grid on ;
图 10 校正后系统bode图
由图能够看出，校正后系统复制频率特征过0db线，幅值裕量和相角裕量全部满足条件要求。
5.3 系统仿真
在Simulink中进行校正后系统仿真，图所表示：
图 11 校正后系统单位阶跃响应
由图能够看出，校正后系统稳态误差为：11% 超调亮和调整时间全部满足要求。所以频域法超前校正成功。
六、PID控制器设计
PID控制器是百分比-微分-积分控制器简称。在生产过程自动化发展历程中，从20世纪40年代之前至今，PID控制是久用不衰、生命力最强基础控制规律。它原理简单，使用方便，适用性强，广泛应用于生产过程各个领域，PID控制控制品质对被控对象特征改变不敏感，所以在自动控制系统中，首先想到基础控制规律就是PID控制。
控制器中微分控制作用能够减小响应过程中动态偏差，缩短调整时间，积分作用特点是消除稳态误差，但将使响应曲线动态偏差和调整时间增大，故此采取PID控制。PID 控制并不需要对系统进行正确分析，所以采取试验方法对系统进行控制器参数设置。
系统实际模型：

PID控制器设计基础要求：
最大超调亮：σp%≤10%
调整时间：ts=0.5s(2%误差带)
在 Simulink 中建立图所表示直线一级倒立摆模型：

图12 Simulink构建PID 控制MATLAB 仿真模型
在初始值下进行仿真，得到系统单位阶跃响应：
图 13 KP=1，KI=1，KD=0 系统单位阶跃响应
经过仿真图像我们能够看出，在KP=1，KI=1，KD=0情况下，系统响应不收敛经过不停调整PID参数，最终我们到满足条件响应曲线，以下图所表示：此时KP=70，KI=400，KD=20
图 14 满足条件PID控制单位阶跃响应
此时系统稳态误差: 0,超调量：14.6%,调整时间：1.25s。满足PID控制器设计要求。
七、总结及心得体会
经过这次课程设计，是我对自动控制原理这门课程有了更深刻了解，将抽象控制理论利用到实际中去，使我对理论知识利用能力有了很大提升，经过观察实际控制效果，也强化了我对自动控制原理理论知识掌握。
在实际操作过程中，我认识到，理论上可行东西在实际模拟过程中并不一定行得通，要综合考虑全部误差一级影响然后做正确判定；同时，在实际操作当中，当结果不满意时，并不一定是理论出了问题，有可能只是一个简单操作错误，而这次课程设计恰好锻炼了我耐心，是我能够不厌其烦试验，最终得出切实可行结果。
这次课程设计业很好锻炼了我观察和学习能力，在实际操作过程当中，有些数据改变对结果影响并不能够用公式表示出来，有可能只是很小相关性，这就要求我们在试验过程当中仔细观察，掌握规律。
八、参考教材
[1] 自动控制原理 谢昭莉
[2]直线倒立摆安装和使用手册R1.0：p39-45
[3]固高MATLAB实时控制软件用户手册：p9-15