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平面与平面垂直的判定 水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度平面要成一个适当的角度.水平面水平面水水坝坝第二页，共37页。半平面半平面半平面半平面半平面半平面第三页，共37页。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角.这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱棱，这两个半平面叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的面面.记为：二面角记为：二面角简记简记：二面角的定义二面角的定义第四页，共37页。思考思考1 1 我们常说我们常说“把门开大些把门开大些”，是指哪个角开大一些，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？我们应该怎么刻画二面角的大小？第五页，共37页。2.2.二面角的取值范围二面角的取值范围二面角的平面角：二面角的平面角：以二面角的棱上以二面角的棱上 为端点，在两个半平面为端点，在两个半平面和和内分别内分别作作 于棱于棱l的两条射线的两条射线OA和和OB，则这两条射线，则这两条射线OA和和OB所成所成的角的角AOB叫作二面角的平面角，叫作二面角的平面角，的二面角叫作直二面角的二面角叫作直二面角任一点任一点垂直垂直平面角是平面角是直角直角第六页，共37页。平面角的大小与棱上平面角的大小与棱上点的选取无关点的选取无关.第七页，共37页。求二面角的平面角求二面角的平面角第八页，共37页。P思考思考3 3 教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？第九页，共37页。aBbCEAD 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直.记作记作平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义第十页，共37页。注意：注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.图形表示图形表示第十一页，共37页。当我们把门打开时，门所在的平面与地面是什么位置关系当我们把门打开时，门所在的平面与地面是什么位置关系？第十二页，共37页。思考思考4 4 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？第十三页，共37页。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号表示符号表示:线面垂直线面垂直则面面垂直则面面垂直平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理第十四页，共37页。如图所示：在如图所示：在RtABCRtABC中，中，ABC=90,PABC=90,P为为ABCABC所在平所在平面外一点，面外一点，PAPA平面平面ABCABC，你能发现哪些平面互相垂直，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？为什么？PABC第十五页，共37页。例例1 1 如图如图,AB,AB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于垂直于O O所在的平面，所在的平面，C C是圆周上不是圆周上不同于同于A A、B B的任意一点，的任意一点，求证：平面求证：平面PACPAC平面平面PBC.PBC.分析：分析：找出在一个面内找出在一个面内与另一个面垂直的直线与另一个面垂直的直线.BCBC平面平面PACPAC第十六页，共37页。证明：证明：设设O所在平面为所在平面为，由已知条件，有，由已知条件，有 PAPA，BCBC在在内，内，PABCPABC，点点C C是圆周上不同于是圆周上不同于A A，B B的任意一点，的任意一点，ABAB为为O直径，直径，BCABCA9090，即即BCCABCCA 又又 PAPA与与ACAC是是PACPAC所在平面内所在平面内 的两条相交直线，的两条相交直线，BCBC平面平面PACPAC，又因为又因为BCBC在平面在平面PBCPBC内，内，平面平面PACPAC平面平面PBC.PBC.第十七页，共37页。例例1如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面的底面ABCD是正方形，是正方形，PD平面平面ABCD.点点E在侧棱在侧棱PB上，上，求证：平面求证：平面AEC平面平面PBD.第十八页，共37页。精解详析精解详析PD平面平面ABCD，AC 平面平面ABCD，PDAC，又又ABCD为正方形，为正方形，ACBD，PDBDD，AC平面平面PBD.又又AC平面平面AEC，平面平面AEC平面平面PBD.例例1如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD的底面的底面ABCD是正方形，是正方形，PD平面平面ABCD.点点E在侧在侧棱棱PB上，求证：平面上，求证：平面AEC平面平面PBD.第十九页，共37页。探究点一探究点一 ：平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理定理 探要点、究所然第二十页，共37页。探究点一探究点一 ：平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理定理 探要点、究所然第二十一页，共37页。求证：平面求证：平面ABD平面平面BCD.第二十二页，共37页。第二十三页，共37页。2如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为分别为CD、DA和对角线和对角线AC的中点的中点 求证：平面求证：平面BEF平面平面BGD.第二十四页，共37页。2如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，ABBC，CDDA，E、F、G分别为分别为CD、DA和对和对 角线角线AC的中点的中点 求证：平面求证：平面BEF平面平面BGD.证明：证明：ABBC，CDAD，G是是AC的中点，的中点，BGAC，DGAC，又又EFAC，EFBG，EFDG.EF平面平面BGD.EF平面平面BEF，平面平面BDG平面平面BEF.第二十五页，共37页。3三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中，侧面中，侧面B1C1CB是菱形，是菱形，B1CA1B，求证：平面求证：平面A1BC1平面平面AB1C.第二十六页，共37页。3三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中，侧面中，侧面B1C1CB是菱形，是菱形，B1CA1B，求证：平面求证：平面A1BC1平面平面AB1C.证明：证明：侧面侧面B1C1CB是菱形，是菱形，B1CBC1，又，又B1CA1B.A1BBC1B，B1C平面平面A1BC1.又又B1C平面平面AB1C，平面平面A1BC1平面平面AB1C.第二十七页，共37页。例例2如图，如图，PAO所在的平面，所在的平面，AB是是 O的直径，的直径，C是是 O上一点，上一点，AEPB于于E，AFPC于于F，求证：，求证：(1)平面平面AEF平面平面PBC；(2)PBEF.思路点拨思路点拨(1)用面面垂直的判定定理；用面面垂直的判定定理；(2)先证线面垂直，再证线线垂直先证线面垂直，再证线线垂直第二十八页，共37页。精解详析精解详析(1)AB是是 O的直径，的直径，C在圆上在圆上ACBC，又，又PA平面平面ABC，PABC.又又ACPAA，BC平面平面PAC.又又AF平面平面PAC，BCAF，又，又AFPC，PCBCC，AF平面平面PBC.又又AF平面平面AEF，平面平面AEF平面平面PBC第二十九页，共37页。(2)由由(1)知知AF平面平面PBC，AFPB.又又AEPB，AEAFA，PB平面平面AEF.又又EF平面平面AEF，PBEF.第三十页，共37页。一点通一点通解决直线、面面垂直关系要注意三种解决直线、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系：即垂直关系的转化关系：即 线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直第三十一页，共37页。4四面体四面体ABCD中，中，BCD，ABC是全等三角形，且是全等三角形，且 ABAC，E为为BC的中点的中点 求证：平面求证：平面ADE平面平面ABC.证明：证明：BCD与与ABC全等，且全等，且ABAC，BDDC，又，又E为为BC的中点的中点AEBC，DEBC.又又AEDEE，BC平面平面ADE，又又BC平面平面ABC，平面平面ABC平面平面ADE.第三十二页，共37页。第三十三页，共37页。第三十四页，共37页。第三十五页，共37页。二、二面角的平面角二、二面角的平面角一、二面角的定义一、二面角的定义 从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成的图形叫做二面角成的图形叫做二面角1.1.定义定义2.2.求二面角的平面角的方法求二面角的平面角的方法点点P P在棱上在棱上点点P P在二面角内在二面角内ABPABppABO定义法定义法垂面法垂面法第三十六页，共37页。找二面角的平面角找二面角的平面角说明该平面角是直角。说明该平面角是直角。（一般通过计算完成证明。）（一般通过计算完成证明。）（1 1）定义法：）定义法：（2 2）判定定理：）判定定理：要证要证两个平面垂直，两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。另一个平面的一条垂线。只要在其中一个平面内找到只要在其中一个平面内找到（线面垂直（线面垂直面面垂直面面垂直）3.3.两个平面垂直的判定定理的内容两个平面垂直的判定定理的内容.面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直第三十七页，共37页。谢谢